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Bulletin of the American Mathematical Society
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ISSN 1088-9485(e) ISSN 0273-0979(p)
     

Michael's problem and the Poincaré-Fatou-Bieberbach phenomenon

Author(s): P. G. Dixon; J. Esterle
Journal: Bull. Amer. Math. Soc. 15 (1986), 127-187.
MSC (1985): Primary 32H25; Secondary 46H05, 32-03, 01A55, 01A60
MathSciNet review: 854551
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References:

1.
N. H. Abel, Détermination d'une fonction au moyen d'une équation qui ne contient qu'une seule variable, Oeuvres complètes II, Christiania (1881), 36-39.
2.
L. V. Ahlfors, The theory of meromorphic curves, Acta Soc. Sci. Fenn. Nova Ser. A 3 (1941), 1-31. MR 4309
3.
M. Akkar, Sur la structure des algèbres topologiques localement multiplicativement convexes, C. R. Acad. Sci. Paris 279 (1974), 941-944. MR 361778
4.
H. Alexander, Explicit embedding of the (punctured) disc into C2, Notices Amer. Math. Soc. 24 (1977), A 472.
5.
G. R. Allan, Embedding the algebra of all formal power series in a Banach algebra, Proc. London Math. Soc. (3) 25 (1972), 329-340. MR 305071
6.
N. U. Arakelian, Uniform approximation on closed sets by entire functions, Izv. Akad. Nauk SSSR 28 (1964), 1187-1206 (Russian). MR 170017
7.
N. U. Arakelian and P. Gauthier, On tangential approximation by entire functions, Izv. Akad. Nauk Armyan. SSSR (6) 17 (1982), 421-441; English transl. in Soviet J. Contemporary Math. 17 (1982), 1-22. MR 693003
8.
R. Arens, Dense inverse limit rings, Michigan Math. J. 5 (1958), 169-182. MR 105034
9.
V. I. Arnold, Chapitres supplémentaires a la théorie des équations différentielles, Editions de Moscou, 1978.
10.
H. Bass, E. H. Connell and D. Wright, The jacobian conjecture. Reduction of degree and expansion of the inverse. Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 7 (1982), 287-330. MR 663785
11.
L. Bieberbach, Beispiel zweier ganzer Funktionen zweier komplexer Variablen, welche eine schlichte volumtreue Abbildung des R, S. B. Preuss Akad. Wiss. 14/15 (1933), 476-479.
12.
G. R. Belitskii, Normal forms, invariants, and local mappings, Naukova Dumka, Kiev, 1979 (Russian). MR 537763
13.
S. Bochner and W. Martin, Several complex variables, Princeton Univ. Press, Princeton, N. J., 1948. MR 27863
14.
E. Borel, Sur les zéros des fonctions entières, Acta Math. 20 (1897), 357-396. MR 1554885
15.
N. Bourbaki, Espaces vectoriels topologiques, Chapitre II, Masson, Paris, 1981. MR 633754
16.
N. Bourbaki, Topologie générale, Chapitre II, Hermann, Paris, 1960.
17.
A. D. Bruno, Analytic forms of differential equations, Trudy Moskov. Mat. Obshch. 25 (1971), 120-162; English transl. in Trans. of the Moscow Math. Soc. 25 (1971), 131-288.
18.
D. Burns, Curvatures of Monge-Ampère foliations and parabolic manifolds, Ann. of Math. (2) 115 (1982), 349-373. MR 647810
19.
C. Camacho, On the local structure of conformal mappings and holomorphic vector fields in C2, Astérisque 59-60 (1978), 83-94. MR 542732
20.
C. Camacho and P. Sad, Topological classification and bifurcation of holomorphic flows with resonance in C2, Invent. Math. 67 (1982), 447-472. MR 664115
21.
J. Carlson and P. Griffiths, A defect relation for equidimensional holomorphic mappings between algebraic varieties, Ann. of Math. (2) 95 (1972), 557-584. MR 311935
22.
H. Cartan, Sur les systèmes de fonctions holomorphes à variétés lacunaires et leurs applications, Ann. Sci. École Norm. Sup. 45 (1928), 256-346.
23.
H. Cartan, Sur les fonctions de deux variables complexes: les transformations d'un domaine borné D en un domaine intérieur à D, Bull. Soc. Math. France 58 (1930), 199-219. MR 1504964
24.
S. S. Chern, Differential geometry: its past and future, Actes du Congrès International des Mathématiciens (Nice, 1970), Gauthier-Villars, Paris, 1971, Tome 1, pp. 41-53. MR 428217
25.
B. Chevreau and J. Esterle, Normal forms for germs of invertible analytic mappings (C , 0) → ( C , 0) (in preparation)
26.
D. Clayton, A reduction of the continuous homomorphism problem for F-algebras, Rocky Mountain J. Math. 5 (1975), 337-344. MR 390771
27.
J. B. Conway, Functions of one complex variable, 2nd ed., Graduate Texts in Math., no. 11, Springer-Verlag, Berlin and New York, 1978. MR 503901
28.
D. Couty, Sur l'image d'une fonction entière de deux variables complexes, Proc. Edinburgh Math. Soc., 27 (1984), 327-331. MR 800224
29.
H. G. Dales, A discontinuous homomorphism from C(X), Amer. J. Math. 101 (1979), 647-734. MR 533196
30.
B. Davis, Picard's theorem and Brownian motion, Trans. Amer. Math. Soc. 213 (1975), 353-362. MR 397900
31.
B. Davis, Brownian motion and analytic functions, Ann. Probab. 7 (1979), 913-932. MR 548889
32.
P. G. Dixon, Scalar homomorphisms on algebras of infinitely long polynomials with an application to automatic continuity theory, J. London Math. Soc. (2) 19 (1979), 488-496. MR 540065
33.
P. G. Dixon and D. H. Fremlin, A remark concerning multiplicative functionals on LMC algebras, J. London Math. Soc. 5 (1972), 231-232. MR 315447
34.
K. Diederich and N. Sibony, Strange complex structures on Euclidean spaces, J. Reine Angew. Math. 311/312 (1979), 397-407. MR 549981
35.
A. Douady, Systèmes dynamiques holomorphes, Séminaire Bourbaki n° 599 (1982/3), Astérisque, 105-106 (1983), 39-63. MR 728980
36.
J. Dufresnoy, Théorie nouvelle des familles complexes normales. Applications à l'étude des fonctions algébroides, Ann. Sci. École Norm. Sup. (3) 61 (1944), 1-44. MR 14469
37.
H. Dulac, Recherche sur les points singuliers des équations différentielles, J. École Polytechnique (2) 9 (1904), 1-125.
38.
H. Dulac, Sur les cycles limites, Bull. Soc. Math. France 51 (1923), 45-188. MR 1504823
39.
N. Dunford and J. T. Schwartz, Linear operators. Part I: General theory, Pure and Appl. Math., vol. 7, Interscience, New York, 1958. MR 1009162
40.
J. Ecalle, Théorie itérative, introduction à la théorie des invariants holomorphes, J. Math. Pures Appl. 54 (1975), 183-258. MR 499882
41.
P. M. Elizarov and Yu. S. Il'yashenko, Remarks on the orbital analytic classification of germs of vector fields, Mat. Sb. 121 (1983), 111-130 (Russian). MR 699741
42.
J. Esterle, Injection de semi-groups divisibles dans des algèbres de convolution et construction d'homomorphismes discontinus de ${\cal C}(K)$, Proc. London Math. Soc. (3) 36 (1978), 59-85. MR 482218
43.
J. Esterle, Elements for a classification of commutative radical Banach algebras, Radical Banach Algebras and Automatic Continuity, Proceedings, Long Beach, 1981, Lecture Notes in Math., vol. 975, Springer-Verlag, Berlin and New York, pp. 1-65. MR 697578
44.
J. Esterle, Problème de Michael et fonctions entières de plusieurs variables complexes, Proc. Conf. Analyse Complexe en Plusieurs Variables, Toulouse, 1983, Lecture Notes in Math., vol. 1094, Springer-Verlag, Berlin and New York, 1984, pp. 65-83. MR 773104
45.
J. Esterle, Mittag-Leffler methods in the theory of Banach algebras and a new approach to Michael's problem, Proc. Yale Conf. in honour of C. E. Rickart (1983), Contemp. Math., vol. 32, Amer. Math. Soc., Providence, R. I., 1984, pp. 107-129. MR 769501
46.
P. Fatou, Sur certaines fonctions uniformes de deux variables, C. R. Acad. Sci. Paris 175 (1922), 1030-1033.
47.
J. P. Francoise, Sur les formes normales des champs de vecteurs, Boll. Un. Mat. Ital. (5) 17 A (1980), 60-66. MR 562114
48.
W. H. Fuchs, Théorie de l'approximation des fonctions d'une variable complexe, Presses de l'Université de Montréal, Montréal, 1968.
49.
P. Gauthier and Ngô Van Quê, Problème de surjectivité des applications holomorphes, Ann. Sci. Norm. Sup. Pisa (2) 27 (1973), 555-559. MR 379907
50.
M. Green, Holomorphic maps into complex projective spaces omitting hyperplanes, Trans. Amer. Math. Soc. 169 (1972), 89-103. MR 308433
51.
P. Griffiths, Entire holomorphic mappings in one and several variables, Ann. of Math. Studies no. 85, Princeton Univ. Press, Princeton, N. J., 1976. MR 447638
52.
L. Gruman, Value distribution for holomorphic maps in C , Math. Ann. 245 (1979), 199-218. MR 553341
53.
L. Gruman, Ensembles exceptionnels pour les applications holomorphes dans C , Séminaire Lelong-Dolbeaut-Skoda, Années 1981/83, Lecture Notes in Math., vol. 1028, Springer-Verlag, Berlin and New York, pp. 125-162. MR 774975
54.
R. C. Gunning and H. Rossi, Analytic functions of several complex variables, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N. J., 1965. MR 180696
55.
S. Hitotomatu, Proposed problems and solutions, Sûgaku, Math. Soc. Japan 10 (1958), 195. (Japanese)
56.
L. Hörmander, An introduction to complex analysis in several variables, North-Holland, Amsterdam, London, New York, 1973. MR 344507
57.
J. E. Humphreys, Linear algebraic groups, Graduate Texts in Math., no. 21, Springer-Verlag, Berlin and New York, 1975. MR 396773
58.
G. Julia, Mémoire sur l'itération des fractions rationnelles, Journal de Math. 8 Sér. 1 (1918), 47-245.
59.
G. Julia, Sur quelques problèmes relatifs à itération des fractions rationnelles, C. R. Acad. Sci. Paris Ser. A 168 (1919), 147-148.
60.
M. Kato, A generalization of Bieberbac's example, Proc. Japan Acad. 50 (1974), 329-333. MR 407325
61.
K. Kodaira, Holomorphic mappings of polydiscs into compact complex manifolds, J. Differential Geom. 6 (1971), 33-46. MR 301228
62.
M. Koenigs, Recherches sur les intégrales de certaines équations fonctionnelles, Ann. École Norm. Sup. 1 (1882), 3-41.
63.
M. Kuczma, Functional equations, P. W. N., Warsaw, 1968.
64.
H. B. Laufer, Embedding annuli in C2, J. Analyse Math. 26 (1973), 187-215. MR 346189
65.
S. Lattès, Sur les formes réduites des transformations ponctuelles à deux variables, C. R. Acad. Sci. Paris Ser. A 152 (1911), 1566-1569.
66.
S. Lattès, Sur l'itération des substitutions rationnelles à deux variables, C. R. Acad. Sci. Paris Ser. A 166 (1918), 151-153.
67.
L. Leau, Étude sur les équations fonctionnelles à une ou plusieurs variables, Ann. Fac. Sci. Toulouse Math. 11 (1897), 1-110.
68.
B. Malgrange, Travaux d'Ecalle et Martinet-Ramis sur les systèmes dynamiques, Séminaire N. Bourbaki, n°582 (1981/82), Astérisque 92/93 (1982), 59-73. MR 689526
69.
R. Mane, P. Sad and D. Sullivan, On the dynamics of rational maps, Ann. Sci. École Norm. Sup. 16 (1983), 193-217. MR 732343
70.
J. Martinet, Normalisation des champs de vecteurs holomorphes (d'après A. D. Brjuno), Séminaire Bourbaki n°564 (1980/81), Lecture Notes in Math., vol. 901, Springer-Verlag, Berlin and New York, 1981, pp. 55-70. MR 647488
71.
J. Martinet and J. P. Ramis, Problèmes de modules pour les équations différentielles linéaires du premier ordre, Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. 55 (1982), 63-164. MR 672182
72.
J. Martinet and J. P. Ramis, Classification analytique des équations différentielles non linéaires résonnantes du premier ordre, Ann. Sci. École Norm. Sup. 16 (1983), 571-621. MR 740592
73.
E. A. Michael, Locally multiplicatively-convex topological algebras, Mem. Amer. Math. Soc. No. 11 (1952). MR 51444
74.
T. T. Moh, On the jacobian conjecture and the configuration of roots, J. Reine Angew. Math. 340 (1983), 140-212. MR 691964
75.
R. Nevanlinna, Le théorème de Picard-Borel et la théorie des fonctions méromorphes, Gauthiers-Villars, Paris, 1929.
76.
Y. Nishimura, Automorphismes analytiques admettant des sousvariétés de points fixes dans une direction transversale, J. Math. Kyoto Univ. (2) 23 (1983), 289-299. MR 706166
77.
Y. Nishimura, Applications holomorphes injectives de C2 dans lui-même qui exceptent une droite complexe, J. Math. Kyoto Univ. (4) 24 (1984), 755-761. MR 775985
78.
T. Nishino, Proposed problems and solutions, Sûgaku, Math. Soc. Japan 20 (1968), 125 (Japanese).
79.
T. Nishino, Le théorème de Borel et le théorème de Picard, C. R. Acad. Sci. Paris (14) 299 (1984), 667-668. MR 770459
80.
E. Picard, Sur une classe de transcendantes nouvelles, Acta Math. 18 (1894), 133-154. MR 1554853
81.
E. Picard, Sur une classe de transcendantes nouvelles. II, Acta Math. 23 (1900), 333-337. MR 1554921
82.
E. Picard, Sur une classe de surfaces algébriques dont les coordonnées s'expriment par des fonctions de deux paramètres, Bull. Soc. Math. France 28 (1900), 17-25. MR 1504358
83.
E. Picard, Sur certaines équations fonctionnelles et sur une classe de surfaces algébriques, C. R. Acad. Sci. Paris 139 (1904), 5-9.
84.
H. Poincaré, Sur les propriétés des fonctions définies par les équations aux différences partielles, Thèse, Gauthier-Villars, Paris, 1879.
85.
H. Poincaré, Sur une classe nouvelle de transcendantes uniformes, J.de Math. 6 (1890), 313-365.
86.
M. Rajoelina, Eléments de Cohen et fonctions extérieures de l'algèbre du disque, J. Functional Analysis (to appear).
87.
L. Reich, Das typenproblem beiformal biholomorphen Abbildungen mit anziehendem Fixpunt, Math. Ann. 179 (1969), 227-250. MR 237485
88.
L. Reich, Normalformen biholomorphen Abbildungen mit anziehendem Fixpunt, Math. Ann. 180 (1969), 233-255. MR 243101
89.
L. I. Ronkin, Introduction to the theory of entire functions in several complex variables, Transl. Math. Monographs, vol. 44, Amer. Math. Soc., Providence, R.I., 1974. MR 346175
90.
A. Roth, Approximationseigenschaften und Strahlen grenzwerte meromorpher und ganzer Funktionen, Comment Math. Helv. 11 (1938), 77-125. MR 1509593
91.
W. Rudin, Private communication.
92.
H. Russmann, On the convergence of power series transformations of analytic mappings near a fixed point into a normal form (preprint) Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. I.H.E.S. 1977.
93.
A. Sadullaev, On Fatou's example, Mat. Zametki 6 (1969), 437-441 (Russian), (translated in Math. Notes 6 (1969), 717-719). MR 414944
94.
M. Schottenloher, Michael's problem and algebras of holomorphic functions, Arch. Mat. 37 (1981), 241-247. MR 637767
95.
E. Schröder, Über unendlich viele Algorithmen zur Auflosung der Gleichungen, Math. Ann. 2 (1870), 317-365. MR 1509664
96.
E. Schröder, Über iterierte Funktionen, Math. Ann. 3 (1871), 296-322.
97.
A. A. Sherbakov, Germs of maps, analytically not equivalent with their formal normal forms, Funktsional Anal. i Prilozhen. (2) 16 (1982), 94-95 (Russian). MR 659181
98.
N. Sibony and Pit-Mann Wong, Some remarks on the Casorati-Weierstrass theorem, Ann. Polon. Math. 39 (1981), 165-174. MR 617458
99.
C. L. Siegel, Iteration of analytic functions, Ann. of Math. (2) 43 (1942), 607-612. MR 7044
100.
H. Skoda, Fibrés holomorphes à base et à fibre de Stein, C. R. Acad. Sci. Paris 284 (1977), 1199-1202. MR 437802
101.
J.-L. Stehlé, Plongements du disque dans C2, Séminaire P. Lelong (Analyse) Lecture Notes in Math., vol. 275, Springer-Verlag, Berlin and New York, 1970, pp. 119-130. MR 397012
102.
S. Sternberg, Local contractions and a theorem of Poincaré, Amer. J. Math. 79 (1957), 809-823. MR 96853
103.
S. Sternberg, Infinite Lie groups and the formal aspects of dynamical systems, J. Math. Mech. (3) 10 (1961), 451-474. MR 133400
104.
W. Stoll, The characterization of strictly parabolic manifolds, Ann. Sci. Norm. Sup. Pisa Sér. A (1) 7 (1980), 87-154. MR 577327
105.
D. Sullivan and W. Thurston, Extending holomorphic motions (to appear). MR 857674
106.
A. Vitter, The lemma of the logarithmic derivative in several complex variables, Duke Math. J. 44 (1977), 89-104. MR 432924
107.
S. M. Voronin, Analytic classification of germs of conformal mappings (C, 0) → (C, 0) with identity linear part, Funktsional. Anal. i Prilozhen. 15 (1981), no. 1, 1-17; English transl. in Functional Anal. Appl. 15 (1981), 1-13. MR 609790
108.
S. Wang, A jacobian criterion for separability, J. Algebra 65 (1980), 453-494. MR 585736
109.
H. Wu, An n-dimensional extension of Picard's theorem, Bull. Amer. Math. Soc. 75 (1969), 1357-1361. MR 254273
110.
H. Wu, The equidistribution theory of holomorphic curves, Ann. of Math. Studies, No. 64, Princeton Univ. Press, Princeton, N. J., 1970. MR 273070
111.
H. Wu, Mapping of Riemann surfaces (Nevanlinna theory), Proc. Sympos. Pure Math., vol. 11, Amer. Math. Soc., Providence, R. I., 1968, pp. 480-532. MR 237772
112.
M. G. Zaidenberg, Picard's theorem and hyperbolicity, Siberian Math. J. (6) 24 (1983), 44-55 (Russian). MR 731042
113.
E. Zehnder, A simple proof of a generalization of a theorem by C. L. Siegel, Geometry and Topology III (M. de Carmo and J. Palis, Jr., eds.), Lecture Notes in Math., vol. 597, Springer-Verlag, Berlin and New York, 1977, pp. 855-866. MR 461575
114.
F. Zouakia, Semi-groupes réels dans les algébres de Banach commutatives (to appear). MR 918644

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Additional Information:

DOI: 10.1090/S0273-0979-1986-15463-7
PII: S 0273-0979(1986)15463-7


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