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Bulletin of the American Mathematical Society

ISSN 1088-9485(online) ISSN 0273-0979(print)

 
 

 

Michael's problem and the Poincaré-Fatou-Bieberbach phenomenon


Authors: P. G. Dixon and J. Esterle
Journal: Bull. Amer. Math. Soc. 15 (1986), 127-187
MSC (1985): Primary 32H25; Secondary 46H05, 32-03, 01A55, 01A60
DOI: https://doi.org/10.1090/S0273-0979-1986-15463-7
MathSciNet review: 854551
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  • 1. N. H. Abel, Détermination d'une fonction au moyen d'une équation qui ne contient qu'une seule variable, Oeuvres complètes II, Christiania (1881), 36-39.
  • 2. L. V. Ahlfors, The theory of meromorphic curves, Acta Soc. Sci. Fenn. Nova Ser. A 3 (1941), 1-31. MR 4309
  • 3. M. Akkar, Sur la structure des algèbres topologiques localement multiplicativement convexes, C. R. Acad. Sci. Paris 279 (1974), 941-944. MR 361778
  • 4. H. Alexander, Explicit embedding of the (punctured) disc into C2, Notices Amer. Math. Soc. 24 (1977), A 472.
  • 5. G. R. Allan, Embedding the algebra of all formal power series in a Banach algebra, Proc. London Math. Soc. (3) 25 (1972), 329-340. MR 305071
  • 6. N. U. Arakelian, Uniform approximation on closed sets by entire functions, Izv. Akad. Nauk SSSR 28 (1964), 1187-1206 (Russian). MR 170017
  • 7. N. U. Arakelian and P. Gauthier, On tangential approximation by entire functions, Izv. Akad. Nauk Armyan. SSSR (6) 17 (1982), 421-441; English transl. in Soviet J. Contemporary Math. 17 (1982), 1-22. MR 693003
  • 8. R. Arens, Dense inverse limit rings, Michigan Math. J. 5 (1958), 169-182. MR 105034
  • 9. V. I. Arnold, Chapitres supplémentaires a la théorie des équations différentielles, Editions de Moscou, 1978.
  • 10. H. Bass, E. H. Connell and D. Wright, The jacobian conjecture. Reduction of degree and expansion of the inverse. Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 7 (1982), 287-330. MR 663785
  • 11. L. Bieberbach, Beispiel zweier ganzer Funktionen zweier komplexer Variablen, welche eine schlichte volumtreue Abbildung des R, S. B. Preuss Akad. Wiss. 14/15 (1933), 476-479.
  • 12. G. R. Belitskii, Normal forms, invariants, and local mappings, Naukova Dumka, Kiev, 1979 (Russian). MR 537763
  • 13. S. Bochner and W. Martin, Several complex variables, Princeton Univ. Press, Princeton, N. J., 1948. MR 27863
  • 14. E. Borel, Sur les zéros des fonctions entières, Acta Math. 20 (1897), 357-396. MR 1554885
  • 15. N. Bourbaki, Espaces vectoriels topologiques, Chapitre II, Masson, Paris, 1981. MR 633754
  • 16. N. Bourbaki, Topologie générale, Chapitre II, Hermann, Paris, 1960.
  • 17. A. D. Bruno, Analytic forms of differential equations, Trudy Moskov. Mat. Obshch. 25 (1971), 120-162; English transl. in Trans. of the Moscow Math. Soc. 25 (1971), 131-288.
  • 18. D. Burns, Curvatures of Monge-Ampère foliations and parabolic manifolds, Ann. of Math. (2) 115 (1982), 349-373. MR 647810
  • 19. C. Camacho, On the local structure of conformal mappings and holomorphic vector fields in C2, Astérisque 59-60 (1978), 83-94. MR 542732
  • 20. C. Camacho and P. Sad, Topological classification and bifurcation of holomorphic flows with resonance in C2, Invent. Math. 67 (1982), 447-472. MR 664115
  • 21. J. Carlson and P. Griffiths, A defect relation for equidimensional holomorphic mappings between algebraic varieties, Ann. of Math. (2) 95 (1972), 557-584. MR 311935
  • 22. H. Cartan, Sur les systèmes de fonctions holomorphes à variétés lacunaires et leurs applications, Ann. Sci. École Norm. Sup. 45 (1928), 256-346.
  • 23. H. Cartan, Sur les fonctions de deux variables complexes: les transformations d'un domaine borné D en un domaine intérieur à D, Bull. Soc. Math. France 58 (1930), 199-219. MR 1504964
  • 24. S. S. Chern, Differential geometry: its past and future, Actes du Congrès International des Mathématiciens (Nice, 1970), Gauthier-Villars, Paris, 1971, Tome 1, pp. 41-53. MR 428217
  • 25. B. Chevreau and J. Esterle, Normal forms for germs of invertible analytic mappings (C , 0) → ( C , 0) (in preparation)
  • 26. D. Clayton, A reduction of the continuous homomorphism problem for F-algebras, Rocky Mountain J. Math. 5 (1975), 337-344. MR 390771
  • 27. J. B. Conway, Functions of one complex variable, 2nd ed., Graduate Texts in Math., no. 11, Springer-Verlag, Berlin and New York, 1978. MR 503901
  • 28. D. Couty, Sur l'image d'une fonction entière de deux variables complexes, Proc. Edinburgh Math. Soc., 27 (1984), 327-331. MR 800224
  • 29. H. G. Dales, A discontinuous homomorphism from C(X), Amer. J. Math. 101 (1979), 647-734. MR 533196
  • 30. B. Davis, Picard's theorem and Brownian motion, Trans. Amer. Math. Soc. 213 (1975), 353-362. MR 397900
  • 31. B. Davis, Brownian motion and analytic functions, Ann. Probab. 7 (1979), 913-932. MR 548889
  • 32. P. G. Dixon, Scalar homomorphisms on algebras of infinitely long polynomials with an application to automatic continuity theory, J. London Math. Soc. (2) 19 (1979), 488-496. MR 540065
  • 33. P. G. Dixon and D. H. Fremlin, A remark concerning multiplicative functionals on LMC algebras, J. London Math. Soc. 5 (1972), 231-232. MR 315447
  • 34. K. Diederich and N. Sibony, Strange complex structures on Euclidean spaces, J. Reine Angew. Math. 311/312 (1979), 397-407. MR 549981
  • 35. A. Douady, Systèmes dynamiques holomorphes, Séminaire Bourbaki n° 599 (1982/3), Astérisque, 105-106 (1983), 39-63. MR 728980
  • 36. J. Dufresnoy, Théorie nouvelle des familles complexes normales. Applications à l'étude des fonctions algébroides, Ann. Sci. École Norm. Sup. (3) 61 (1944), 1-44. MR 14469
  • 37. H. Dulac, Recherche sur les points singuliers des équations différentielles, J. École Polytechnique (2) 9 (1904), 1-125.
  • 38. H. Dulac, Sur les cycles limites, Bull. Soc. Math. France 51 (1923), 45-188. MR 1504823
  • 39. N. Dunford and J. T. Schwartz, Linear operators. Part I: General theory, Pure and Appl. Math., vol. 7, Interscience, New York, 1958. MR 1009162
  • 40. J. Ecalle, Théorie itérative, introduction à la théorie des invariants holomorphes, J. Math. Pures Appl. 54 (1975), 183-258. MR 499882
  • 41. P. M. Elizarov and Yu. S. Il'yashenko, Remarks on the orbital analytic classification of germs of vector fields, Mat. Sb. 121 (1983), 111-130 (Russian). MR 699741
  • 42. J. Esterle, Injection de semi-groups divisibles dans des algèbres de convolution et construction d'homomorphismes discontinus de ${\cal C}(K)$, Proc. London Math. Soc. (3) 36 (1978), 59-85. MR 482218
  • 43. J. Esterle, Elements for a classification of commutative radical Banach algebras, Radical Banach Algebras and Automatic Continuity, Proceedings, Long Beach, 1981, Lecture Notes in Math., vol. 975, Springer-Verlag, Berlin and New York, pp. 1-65. MR 697578
  • 44. J. Esterle, Problème de Michael et fonctions entières de plusieurs variables complexes, Proc. Conf. Analyse Complexe en Plusieurs Variables, Toulouse, 1983, Lecture Notes in Math., vol. 1094, Springer-Verlag, Berlin and New York, 1984, pp. 65-83. MR 773104
  • 45. J. Esterle, Mittag-Leffler methods in the theory of Banach algebras and a new approach to Michael's problem, Proc. Yale Conf. in honour of C. E. Rickart (1983), Contemp. Math., vol. 32, Amer. Math. Soc., Providence, R. I., 1984, pp. 107-129. MR 769501
  • 46. P. Fatou, Sur certaines fonctions uniformes de deux variables, C. R. Acad. Sci. Paris 175 (1922), 1030-1033.
  • 47. J. P. Francoise, Sur les formes normales des champs de vecteurs, Boll. Un. Mat. Ital. (5) 17 A (1980), 60-66. MR 562114
  • 48. W. H. Fuchs, Théorie de l'approximation des fonctions d'une variable complexe, Presses de l'Université de Montréal, Montréal, 1968.
  • 49. P. Gauthier and Ngô Van Quê, Problème de surjectivité des applications holomorphes, Ann. Sci. Norm. Sup. Pisa (2) 27 (1973), 555-559. MR 379907
  • 50. M. Green, Holomorphic maps into complex projective spaces omitting hyperplanes, Trans. Amer. Math. Soc. 169 (1972), 89-103. MR 308433
  • 51. P. Griffiths, Entire holomorphic mappings in one and several variables, Ann. of Math. Studies no. 85, Princeton Univ. Press, Princeton, N. J., 1976. MR 447638
  • 52. L. Gruman, Value distribution for holomorphic maps in C , Math. Ann. 245 (1979), 199-218. MR 553341
  • 53. L. Gruman, Ensembles exceptionnels pour les applications holomorphes dans C , Séminaire Lelong-Dolbeaut-Skoda, Années 1981/83, Lecture Notes in Math., vol. 1028, Springer-Verlag, Berlin and New York, pp. 125-162. MR 774975
  • 54. R. C. Gunning and H. Rossi, Analytic functions of several complex variables, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N. J., 1965. MR 180696
  • 55. S. Hitotomatu, Proposed problems and solutions, Sûgaku, Math. Soc. Japan 10 (1958), 195. (Japanese)
  • 56. L. Hörmander, An introduction to complex analysis in several variables, North-Holland, Amsterdam, London, New York, 1973. MR 344507
  • 57. J. E. Humphreys, Linear algebraic groups, Graduate Texts in Math., no. 21, Springer-Verlag, Berlin and New York, 1975. MR 396773
  • 58. G. Julia, Mémoire sur l'itération des fractions rationnelles, Journal de Math. 8 Sér. 1 (1918), 47-245.
  • 59. G. Julia, Sur quelques problèmes relatifs à itération des fractions rationnelles, C. R. Acad. Sci. Paris Ser. A 168 (1919), 147-148.
  • 60. M. Kato, A generalization of Bieberbac's example, Proc. Japan Acad. 50 (1974), 329-333. MR 407325
  • 61. K. Kodaira, Holomorphic mappings of polydiscs into compact complex manifolds, J. Differential Geom. 6 (1971), 33-46. MR 301228
  • 62. M. Koenigs, Recherches sur les intégrales de certaines équations fonctionnelles, Ann. École Norm. Sup. 1 (1882), 3-41.
  • 63. M. Kuczma, Functional equations, P. W. N., Warsaw, 1968.
  • 64. H. B. Laufer, Embedding annuli in C2, J. Analyse Math. 26 (1973), 187-215. MR 346189
  • 65. S. Lattès, Sur les formes réduites des transformations ponctuelles à deux variables, C. R. Acad. Sci. Paris Ser. A 152 (1911), 1566-1569.
  • 66. S. Lattès, Sur l'itération des substitutions rationnelles à deux variables, C. R. Acad. Sci. Paris Ser. A 166 (1918), 151-153.
  • 67. L. Leau, Étude sur les équations fonctionnelles à une ou plusieurs variables, Ann. Fac. Sci. Toulouse Math. 11 (1897), 1-110.
  • 68. B. Malgrange, Travaux d'Ecalle et Martinet-Ramis sur les systèmes dynamiques, Séminaire N. Bourbaki, n°582 (1981/82), Astérisque 92/93 (1982), 59-73. MR 689526
  • 69. R. Mane, P. Sad and D. Sullivan, On the dynamics of rational maps, Ann. Sci. École Norm. Sup. 16 (1983), 193-217. MR 732343
  • 70. J. Martinet, Normalisation des champs de vecteurs holomorphes (d'après A. D. Brjuno), Séminaire Bourbaki n°564 (1980/81), Lecture Notes in Math., vol. 901, Springer-Verlag, Berlin and New York, 1981, pp. 55-70. MR 647488
  • 71. J. Martinet and J. P. Ramis, Problèmes de modules pour les équations différentielles linéaires du premier ordre, Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. 55 (1982), 63-164. MR 672182
  • 72. J. Martinet and J. P. Ramis, Classification analytique des équations différentielles non linéaires résonnantes du premier ordre, Ann. Sci. École Norm. Sup. 16 (1983), 571-621. MR 740592
  • 73. E. A. Michael, Locally multiplicatively-convex topological algebras, Mem. Amer. Math. Soc. No. 11 (1952). MR 51444
  • 74. T. T. Moh, On the jacobian conjecture and the configuration of roots, J. Reine Angew. Math. 340 (1983), 140-212. MR 691964
  • 75. R. Nevanlinna, Le théorème de Picard-Borel et la théorie des fonctions méromorphes, Gauthiers-Villars, Paris, 1929.
  • 76. Y. Nishimura, Automorphismes analytiques admettant des sousvariétés de points fixes dans une direction transversale, J. Math. Kyoto Univ. (2) 23 (1983), 289-299. MR 706166
  • 77. Y. Nishimura, Applications holomorphes injectives de C2 dans lui-même qui exceptent une droite complexe, J. Math. Kyoto Univ. (4) 24 (1984), 755-761. MR 775985
  • 78. T. Nishino, Proposed problems and solutions, Sûgaku, Math. Soc. Japan 20 (1968), 125 (Japanese).
  • 79. T. Nishino, Le théorème de Borel et le théorème de Picard, C. R. Acad. Sci. Paris (14) 299 (1984), 667-668. MR 770459
  • 80. E. Picard, Sur une classe de transcendantes nouvelles, Acta Math. 18 (1894), 133-154. MR 1554853
  • 81. E. Picard, Sur une classe de transcendantes nouvelles. II, Acta Math. 23 (1900), 333-337. MR 1554921
  • 82. E. Picard, Sur une classe de surfaces algébriques dont les coordonnées s'expriment par des fonctions de deux paramètres, Bull. Soc. Math. France 28 (1900), 17-25. MR 1504358
  • 83. E. Picard, Sur certaines équations fonctionnelles et sur une classe de surfaces algébriques, C. R. Acad. Sci. Paris 139 (1904), 5-9.
  • 84. H. Poincaré, Sur les propriétés des fonctions définies par les équations aux différences partielles, Thèse, Gauthier-Villars, Paris, 1879.
  • 85. H. Poincaré, Sur une classe nouvelle de transcendantes uniformes, J.de Math. 6 (1890), 313-365.
  • 86. M. Rajoelina, Eléments de Cohen et fonctions extérieures de l'algèbre du disque, J. Functional Analysis (to appear).
  • 87. L. Reich, Das typenproblem beiformal biholomorphen Abbildungen mit anziehendem Fixpunt, Math. Ann. 179 (1969), 227-250. MR 237485
  • 88. L. Reich, Normalformen biholomorphen Abbildungen mit anziehendem Fixpunt, Math. Ann. 180 (1969), 233-255. MR 243101
  • 89. L. I. Ronkin, Introduction to the theory of entire functions in several complex variables, Transl. Math. Monographs, vol. 44, Amer. Math. Soc., Providence, R.I., 1974. MR 346175
  • 90. A. Roth, Approximationseigenschaften und Strahlen grenzwerte meromorpher und ganzer Funktionen, Comment Math. Helv. 11 (1938), 77-125. MR 1509593
  • 91. W. Rudin, Private communication.
  • 92. H. Russmann, On the convergence of power series transformations of analytic mappings near a fixed point into a normal form (preprint) Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. I.H.E.S. 1977.
  • 93. A. Sadullaev, On Fatou's example, Mat. Zametki 6 (1969), 437-441 (Russian), (translated in Math. Notes 6 (1969), 717-719). MR 414944
  • 94. M. Schottenloher, Michael's problem and algebras of holomorphic functions, Arch. Mat. 37 (1981), 241-247. MR 637767
  • 95. E. Schröder, Über unendlich viele Algorithmen zur Auflosung der Gleichungen, Math. Ann. 2 (1870), 317-365. MR 1509664
  • 96. E. Schröder, Über iterierte Funktionen, Math. Ann. 3 (1871), 296-322.
  • 97. A. A. Sherbakov, Germs of maps, analytically not equivalent with their formal normal forms, Funktsional Anal. i Prilozhen. (2) 16 (1982), 94-95 (Russian). MR 659181
  • 98. N. Sibony and Pit-Mann Wong, Some remarks on the Casorati-Weierstrass theorem, Ann. Polon. Math. 39 (1981), 165-174. MR 617458
  • 99. C. L. Siegel, Iteration of analytic functions, Ann. of Math. (2) 43 (1942), 607-612. MR 7044
  • 100. H. Skoda, Fibrés holomorphes à base et à fibre de Stein, C. R. Acad. Sci. Paris 284 (1977), 1199-1202. MR 437802
  • 101. J.-L. Stehlé, Plongements du disque dans C2, Séminaire P. Lelong (Analyse) Lecture Notes in Math., vol. 275, Springer-Verlag, Berlin and New York, 1970, pp. 119-130. MR 397012
  • 102. S. Sternberg, Local contractions and a theorem of Poincaré, Amer. J. Math. 79 (1957), 809-823. MR 96853
  • 103. S. Sternberg, Infinite Lie groups and the formal aspects of dynamical systems, J. Math. Mech. (3) 10 (1961), 451-474. MR 133400
  • 104. W. Stoll, The characterization of strictly parabolic manifolds, Ann. Sci. Norm. Sup. Pisa Sér. A (1) 7 (1980), 87-154. MR 577327
  • 105. D. Sullivan and W. Thurston, Extending holomorphic motions (to appear). MR 857674
  • 106. A. Vitter, The lemma of the logarithmic derivative in several complex variables, Duke Math. J. 44 (1977), 89-104. MR 432924
  • 107. S. M. Voronin, Analytic classification of germs of conformal mappings (C, 0) → (C, 0) with identity linear part, Funktsional. Anal. i Prilozhen. 15 (1981), no. 1, 1-17; English transl. in Functional Anal. Appl. 15 (1981), 1-13. MR 609790
  • 108. S. Wang, A jacobian criterion for separability, J. Algebra 65 (1980), 453-494. MR 585736
  • 109. H. Wu, An n-dimensional extension of Picard's theorem, Bull. Amer. Math. Soc. 75 (1969), 1357-1361. MR 254273
  • 110. H. Wu, The equidistribution theory of holomorphic curves, Ann. of Math. Studies, No. 64, Princeton Univ. Press, Princeton, N. J., 1970. MR 273070
  • 111. H. Wu, Mapping of Riemann surfaces (Nevanlinna theory), Proc. Sympos. Pure Math., vol. 11, Amer. Math. Soc., Providence, R. I., 1968, pp. 480-532. MR 237772
  • 112. M. G. Zaidenberg, Picard's theorem and hyperbolicity, Siberian Math. J. (6) 24 (1983), 44-55 (Russian). MR 731042
  • 113. E. Zehnder, A simple proof of a generalization of a theorem by C. L. Siegel, Geometry and Topology III (M. de Carmo and J. Palis, Jr., eds.), Lecture Notes in Math., vol. 597, Springer-Verlag, Berlin and New York, 1977, pp. 855-866. MR 461575
  • 114. F. Zouakia, Semi-groupes réels dans les algébres de Banach commutatives (to appear). MR 918644

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