Sets of natural numbers with no minimal asymptotic bases

Erdős, Paul; Nathanson, Melvyn B.

doi:10.1090/S0002-9939-1978-0485761-6

Sets of natural numbers with no minimal asymptotic bases

Authors: Paul Erdős and Melvyn B. Nathanson
Journal: Proc. Amer. Math. Soc. 70 (1978), 100-102
MSC: Primary 10L05
DOI: https://doi.org/10.1090/S0002-9939-1978-0485761-6
MathSciNet review: 0485761
Full-text PDF

Abstract | References | Similar Articles | Additional Information

Abstract: The set A of natural numbers is an asymptotic basis for S if the sets S and 2A eventually coincide. An asymptotic basis A for S is minimal if no proper subset of A is a basis for S. Sets S are constructed which possess infinitely many asymptotic bases, but no minimal asymptotic basis.

[1] P. Erdős and E. Härtter, Konstruktion von nichtperiodischen Minimalbasen mit der Dichte 1\over2 für die Menge der nichtnegativen ganzen Zahlen, J. Reine Angew. Math. 221 (1966), 44–47 (German). MR 0190119
[2] Paul Erdős and Melvyn B. Nathanson, Maximal asymptotic nonbases, Proc. Amer. Math. Soc. 48 (1975), 57–60. MR 0357363, https://doi.org/10.1090/S0002-9939-1975-0357363-0
[3] Paul Erdős and Melvyn B. Nathanson, Oscillations of bases for the natural numbers, Proc. Amer. Math. Soc. 53 (1975), no. 2, 253–258. MR 0384739, https://doi.org/10.1090/S0002-9939-1975-0384739-8
[4] Paul Erdős and Melvyn B. Nathanson, Nonbases of density zero not contained in maximal nonbases, J. London Math. Soc. (2) 15 (1977), no. 3, 403–405. MR 0491579, https://doi.org/10.1112/jlms/s2-15.3.403
[5] Erich Härtter, Ein Beitrag zur Theorie der Minimalbasen, J. Reine Angew. Math. 196 (1956), 170–204 (German). MR 0086086, https://doi.org/10.1515/crll.1956.196.170
[6] Erich Härtter, Eine Bemerkung über periodische Minimalbasen für die Menge der nichtnegativen ganzen Zahlen, J. Reine Angew. Math. 214/215 (1964), 395–398 (German). MR 0161827, https://doi.org/10.1515/crll.1964.214-215.395
[7] Henry B. Mann, Addition theorems: The addition theorems of group theory and number theory, Interscience Publishers John Wiley & Sons New York-London-Sydney, 1965. MR 0181626
[8] Melvyn B. Nathanson, Minimal bases and maximal nonbases in additive number theory, J. Number Theory 6 (1974), 324–333. MR 0347764, https://doi.org/10.1016/0022-314X(74)90028-6
[9] Melvyn B. Nathanson, 𝑠-maximal nonbases of density zero, J. London Math. Soc. (2) 15 (1977), no. 1, 29–34. MR 0435021, https://doi.org/10.1112/jlms/s2-15.1.29
[10] Hans-Heinrich Ostmann, Additive Zahlentheorie. Teil I: Allgemeine Untersuchungen. Teil II: Spezielle Zahlenmengen, Unveränderter Nachdruck der 1. Auflage von 1956. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Bände 7, vol. 11, Springer-Verlag, Berlin-New York, 1968 (German). MR 0268112
[11] A. Sárközy, Über total primitive Folgen, Acta Arith. 8 (1962/63), 21-31.
[12] A. Sárközi, Über reduzible Folgen, Acta Arith. 10 (1964/1965), 399–408 (German). MR 0179147, https://doi.org/10.4064/aa-10-4-399-408
[13] András Sárközy and Endre Szemerédi, On the sequence of squares, Mat. Lapok 16 (1965), 76–85 (Hungarian). MR 0201410
[14] Alfred Stöhr, Gelöste und ungelöste Fragen über Basen der natürlichen Zahlenreihe. I, II, J. Reine Angew. Math. 194 (1955), 40–65, 111–140 (German). MR 0075228, https://doi.org/10.1515/crll.1955.194.40