Sur une question de capitulation

Abstract:

Let $p$ and $q$ be prime numbers such that $p \equiv 1 \bmod 8, q \equiv -1 \bmod 4$ and $(\frac {\textstyle p}{\textstyle q}) = - 1$. Let $d = pq$, $\mathbf {k} = \mathbf {Q}(\sqrt {d},i)$, and let $\mathbf { k}^{(1)}_{2}$ be the 2-Hilbert class field of $\mathbf {k}$, $\mathbf {k}^{(2)}_{2}$ the 2-Hilbert class field of $\mathbf {k}^{(1)}_{2}$ and $G_{2}$ the Galois group of $\mathbf {k}^{(2)}_{2}/\mathbf {k}$. The 2-part $C_{\mathbf {k},2}$ of the class group of $\mathbf { k}$ is of type $(2,2)$, so $\mathbf {k}_{2}^{(1)}$ contains three extensions $\mathbf {K}_{i}/\mathbf {k}, i = 1, 2, 3$. Our goal is to study the problem of capitulation of the 2-classes of $\mathbf {k}$ in $\mathbf {K}_{i}, i = 1, 2, 3$, and to determine the structure of $G_{2}$.

Résumé. Soient $p$ et $q$ deux nombres premiers tels que $p \equiv 1 \bmod 8, q \equiv -1\bmod 4$ et $(\frac {\textstyle p}{\textstyle q}) = - 1$, $d = pq$, $i = \sqrt {-1}$, $\mathbf {k} = \mathbf {Q}(\sqrt {d},i)$, $\mathbf {k}^{(1)}_{2}$ le 2-corps de classes de Hilbert de $\mathbf {k}$, $\mathbf {k}^{(2)}_{2}$ le 2-corps de classes de Hilbert de $\mathbf {k}^{(1)}_{2}$ et $G_{2}$ le groupe de Galois de $\mathbf {k}^{(2)}_{2}/\mathbf {k}$. La 2-partie $C_{\mathbf {k}, 2}$ du groupe de classes de $\mathbf {k}$ est de type $(2,2)$, par suite $\mathbf {k}^{(1)}_{2}$ contient trois extensions $\mathbf {K}_{i}/\mathbf {k}, i = 1, 2, 3$. On s’intéresse au problème de capitulation des 2-classes de $\mathbf {k}$ dans $\mathbf {K}_{i}, i = 1, 2, 3$, et à déterminer la structure de $G_{2}$.