Domaine numérique du produit et de la bimultiplication $M_{2,A,B}$

Abstract:

In this paper, we present an extension of Bouldin’s result (1970) concerning the numerical range $W(AB)$ of the product of two operators $A$ and $B$ that are commuting and for which one of the set $W(A)$ or $W(B)$ consists of positive numbers. We also prove that if $A$ or $B$ is a subnormal operator on a separable Hilbert space, then \begin{equation*} \overline {W(M_{2,A,B})}=\overline {co\left [ W(A)W(B)\right ] }, \end{equation*} where $M_{2,A,B}$ is the operator bimultiplication and $co$ is the convex hull. Résumé. Dans ce travail, nous améliorons un résultat de Bouldin (1970) concernant la localisation de $W(AB),$ le domaine numérique du produit de deux opérateurs $A$ et $B$ sur un espace de Hilbert lorsque $A$ et $B$ commutent et $W(A)$ est constitué de réels strictement positifs. Dans le cas où $A$ ou $B$ est un opérateur sous normal sur un espace de Hilbert séparable, nous montrons que \begin{equation*} \overline {W(M_{2,A,B})}=\overline {co\left [ W(A)W(B)\right ] }, \end{equation*} où $M_{2,A,B}$ est l’opérateur produit ou bimultiplication et $co$ est l’enveloppe convexe.