Dimension de Hausdorff des ensembles de zéros et d’interpolation pour $A^ \infty (D)$

Abstract:

Soit $D$ un domaine borné strictement pseudoconvexe dans ${{\mathbf {C}}^n}$ à frontière régulière $\partial D$ et soit ${A^\infty }(D)$ la classe des fonctions holomorphes dans $D$, indéfiniment dérivables dans $\overline D$. Un sous-ensemble compact $E$ de $\partial D$ est un ensemble de zéros pour ${A^\infty }(D)$ s’il existe une fonction de ${A^\infty }(D)$ s’annulant seulement sur $E$. C’est un ensemble d’interpolation d’ordre infini pour ${A^\infty }(D)$ si, pour toute fonction $f$ de classe ${C^\infty }$ dans ${{\mathbf {C}}^n}$ telle que $\overline \partial f$ soit plate sur $E$, il existe une fonction $F$ de ${A^\infty }(D)$ telle que $F - f$ soit plate sur $E$. On construit ici des ensembles de dimension de Hausdorff $n$. Ce résultat est le meilleur possible dans le cas d’ensembles totalement réels. Le point de vue utilisé pour montrer qu’un sous-ensemble $E$ de $\partial D$ est d’interpolation d’ordre infini pour ${A^\infty }(D)$ est de vérifier qu’il a la propriété de division par ${A^\infty }(D)$, c’est-á-dire, que, pour toute famille de fonctions ${({f_i})_{i \in {\text {N}}}}$ de ${C^\infty }(\overline D )$, plates sur $E$, il existe une fonction $F$ de ${A^\infty }(D)$, plate sur $E$ et nulle seulement sur $E$ et une famille de fonctions ${({k_i})_{i \in {\text {N}}}}$ de ${C^\infty }(\overline D )$, plates sur $E$, telles que l’on ait, pour tout $i$ dans ${\mathbf {N}}$, ${f_i} = F{k_i}$.