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Transactions of the American Mathematical Society
Transactions of the American Mathematical Society
ISSN 1088-6850(online) ISSN 0002-9947(print)

 

Dimension de Hausdorff des ensembles de zéros et d'interpolation pour $ A\sp \infty(D)$


Authors: Jacques Chaumat and Anne-Marie Chollet
Journal: Trans. Amer. Math. Soc. 299 (1987), 95-114
MSC: Primary 32E25; Secondary 32A10, 46J15
MathSciNet review: 869401
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Abstract | References | Similar Articles | Additional Information

Abstract: Soit $ D$ un domaine borné strictement pseudoconvexe dans $ {{\mathbf{C}}^n}$ à frontière régulière $ \partial D$ et soit $ {A^\infty }(D)$ la classe des fonctions holomorphes dans $ D$, indéfiniment dérivables dans $ \overline D $.

Un sous-ensemble compact $ E$ de $ \partial D$ est un ensemble de zéros pour $ {A^\infty }(D)$ s'il existe une fonction de $ {A^\infty }(D)$ s'annulant seulement sur $ E$. C'est un ensemble d'interpolation d'ordre infini pour $ {A^\infty }(D)$ si, pour toute fonction $ f$ de classe $ {C^\infty }$ dans $ {{\mathbf{C}}^n}$ telle que $ \overline \partial f$ soit plate sur $ E$, il existe une fonction $ F$ de $ {A^\infty }(D)$ telle que $ F - f$ soit plate sur $ E$.

On construit ici des ensembles de dimension de Hausdorff $ n$. Ce résultat est le meilleur possible dans le cas d'ensembles totalement réels.

Le point de vue utilisé pour montrer qu'un sous-ensemble $ E$ de $ \partial D$ est d'interpolation d'ordre infini pour $ {A^\infty }(D)$ est de vérifier qu'il a la propriété de division par $ {A^\infty }(D)$, c'est-á-dire, que, pour toute famille de fonctions $ {({f_i})_{i \in {\text{N}}}}$ de $ {C^\infty }(\overline D )$, plates sur $ E$, il existe une fonction $ F$ de $ {A^\infty }(D)$, plate sur $ E$ et nulle seulement sur $ E$ et une famille de fonctions $ {({k_i})_{i \in {\text{N}}}}$ de $ {C^\infty }(\overline D )$, plates sur $ E$, telles que l'on ait, pour tout $ i$ dans $ {\mathbf{N}}$, $ {f_i} = F{k_i}$.


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Additional Information

DOI: http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9947-1987-0869401-X
PII: S 0002-9947(1987)0869401-X
Article copyright: © Copyright 1987 American Mathematical Society