Circuit partitions and the homfly polynomial of closed braids

Abstract:

We present an expansion of the homfly polynomial $P(D,z,a)$ of a braid diagram $D$ in terms of its circuit partitions. Another aspect of this result is an expression of $P(D,z,a)$ as the trace of a matrix associated to $D$ in a simple way. We show how certain degree properties of the homfly polynomial can be derived easily from this model. In particular we obtain that if $D$ is a positive braid diagram on $n$ strings with $w$ crossings, the maximum degree of $P(D,z,a)$ in the variable $a$ equals $n - 1 - w$. Nous présentons une expansion pour le polynôme homfly $P(D,z,a)$ d’un diagramme de tresse $D$ en termes de ses partitions en circuits. Un autre aspect de ce résultat consiste en une expression de $P(D,z,a)$ comme trace d’une matrice associee de façon simple à $D$. Nous montrons comment certaines propriétés de degré du polynôme homfly dérivent simplement de ce modèle. En particulier nous obtenons que pour un diagramme de tresse positif $D$ à $n$ brins et $w$ croisements, le degré maximum de $P(D,z,a)$ en la variable $a$ est égal à $n - 1- w$.