Problème de Dirichlet pour une équation de Monge-Ampère réelle elliptique dégénérée en dimension $n$

RÉSUMÉ. On considère dans un ouvert borné $\Omega$ de $\mathbb{R}^n$, à bord régulier, le problème de Dirichlet

où $f\in C^{s_*}(\overline\Omega), \varphi\in C^{s_*+2,\alpha}(\Omega)$, $f$est positive et s'annule sur $\Sigma$ un ensemble fini de points de $\Omega$. On démontre alors sous certaines hypothèses sur $\varphi$ et si $\vert\det \varphi_{ij}-f\vert _{C^{s_*}}$ est assez petit, que le problème (1) possède une solution convexe unique $u\in C^{[s_*-3-n/2]}(\overline\Omega)$.

ABSTRACT. We consider in a bounded open set $\Omega$ of $\mathbb{R}^n$, with regular boundary, the Dirichlet problem

where $f\in C^{s_*}(\overline\Omega), \varphi\in C^{s_*+2,\alpha}(\Omega)$, $f$is positive and vanishes on $\Sigma$, a finite set of points in $\Omega$. We prove, under some hypothesis on $\varphi$ and if $\vert\det \varphi_{ij}-f\vert _{C^{s_*}}$ is sufficiently small, that the problem (1) has a unique convex solution $u\in C^{[s_*-3-n/2]}(\overline\Omega)$.