Bibliography
Airy, G. B. [1838], “On the Intensity of Light in the Neighborhood of a Caustic”, Trans. Camb. Phil. Soc., 6 379–402
d'Alembert, J. le R. [1947] “Recherches sur la courbe que forme une corde tenduë mise en vibration”, Mém. Acad. Sci. (Berlin), 3, 214–219, 220–253.
Barnes, E. W. [1906], “The Asymptotic Expansions of Functions Defined by Taylor's Series,” Phil. Trans. Roy. Soc., London, A 206, 249–297.
Birkhoff, G. D. [1908a], “On the Asymptotic Character of the Solutions of Certain Linear Differential Equations Containing a Parameter,” Trans. Amer. Math. Soc., 9, 219–231 (Collected Works 1, 1–13).
Birkhoff, G. D. [1908b], “Boundary Value and Expansion Problems of Ordinary Differential Equations,” Trans. Amer. Math. Soc., 9, 373–395 (Collected Works, 1, 14–36).
Birkhoff, G. D. [1909], “Singular Points of Ordinary Differential Equations,” Trans. Amer. Math. Soc., 10, 463–470 (Collected Works, 1, 201–235).
Birkhoff, G. D., & Langer, R. E. [1923], “The Boundary Problems and Developments Associated with a System of Ordinary Differential Equations of the First Order,” Proc. Amer. Acad. of Arts and Sci., 58, 51–128 (Collected Works 1, 345–424).
Bleistein, N. [1975], Asymptotic Expansions of Integrals, New York, Holt, Rinehart & Winston.
Blumenthal, O. [1912], «Über asymptotische Integration linearer Differentialgleichungen mit Anwendung auf eine asymptotische Theorie der Kugelfunktionen,” Arch. der Math. u. Phys., (3) 19, 136–174.
Briot, J. C., & Bouquet, C. A. A. [1854], “Recherches sur les propriétés des functions définies par des équations différentielles,” Comptes Rendus, Academie des Sciences, Paris, 39, 368–71.
Briot, J. C., & Bouquet, C. A. A. [1856], “Recherches sur les propriétés des functions définies par des équations différentielles,” J. École Polytech., 21, cahier 36, 85–132, 133–198, 199–254.
Carlini, F. [1817], Ricerche sulla convergenza della serie che serve alla soluzione del problema di Keplero. Milan. (Translated into German by Jacobi in Astro. Nach., 30, (1850) 197–254 (Werke 7, 189–245).)
Cauchy, A. [1829], “Mémoire sur divers points d'analyse,” Mémoires de l'Académie des Sciences (Paris), 8, 101–125 (Oeuvres (1) 2, 33–58).
Cauchy, A. [1833–1835], “Mémoire sur l'intégration des équations différentielles,” (Lithographed in Turin and Prague) (Oeuvres (2) v. 15); also in Exercises d'analyse et de physique mathématique, vol. 1, p. 327 and vol. 2, p. 41.
Cauchy, A. [1840], Exercises d'analyse et de physique mathématique, p. 327 (Oeuvres (2) 11, 339–465).
Cauchy, A. [1841], “Note sur la Diffraction de la Lumiére” Comptes Rendus, Académie des Sciences, Paris, 15, 554–556, 573–578 (Oeuvres (1) 7, 149–151, 151–157).
Copson, E. T. [1965], Asymptotic Expansions, New York, Cambridge University Press.
Cunningham, E. [1906], “On Linear Differential Equations of Rank Unity,” Proc. London Math. Soc., (2), 4, 374–383.
Debye, P. [1909], “Näherungsformeln für die Zylinderfunktionen für Große Werte des Arguments und unbeschränkt veränderliche Werte des Index,” Math. Ann., 67, 535–558.
Debye, P. [1910], “Semikonvergente Entwicklungen für die Zylinderfunktionen und ihre Ausdehnung ins Komplexe,” Sitzungsberichte Kgl. Bayr. Akad. Wissenschaften, (München) Mathematischephysikalischen Klasse, 40, Nr. 5.
Dingle, R. B. [1973], Asymptotic Expansions: Their Derivations and Interpretations, New York, Academic Press.
Dini, U. [1899], “Studi sulle equazioni differenziali lineari,” Annali di Mat., 2, 297–324 (Collected Works 3, 15–47).
Fabry, M.E. [1885], Sur les intégrales des équations différentielles linéaires à coefficients rationnels. Paris: Gauthier-Villars.
Ford, W.B. [1936], The Asymptotic Developments of Functions Defined by Maclaurin Series. Sci. Series Univ. of Mich., Vol. 40 (reprinted by Chelsea Pub. Co.).
Fredholm, I.I. [1903], “Sur une classe d'équations fonctionnelles,” Acta Math., 27, 365–390.
Fuchs, L. [1866], “Zur Theorie der linearen Differentialgleichungen mit veränderlichen Koeffizienten,” J. Reine Angew. Math., 66, 121–160.
Gantmacher, F.R. [1959], Theory of Matrices, Vol. 2. New York: Chelsea Pub. Co.
Green, G. [1837], “On the Motion of Waves in a Variable Canal of Small Depth and Width,” Trans. Cambridge Phil. Soc., 6, 457–462.
Hankel, H. [1868], “Die Zylinderfunktionen erster und zweiter Art,” Math. Ann., 1, 467–501.
Horn, J. [1897a], “Über das Verhalten der Integrale von Differentialgleichungen bei der Annäherung der Veränderlichen an eine Unbestimmheitsstelle (Erster Teil),” J. Reine Angew. Math., 118, 257–274.
Horn, J. [1897b], “Verwendung asymptotischer Darstellungen zur Untersuchung der Integrale speziellen linearen Differentialgleichung, I & II,” Math. Ann., 49, 453–472, 473–496.
Horn, J. [1898a], “Über eine Klasse linearen Differentialgleichungen,” Math. Ann., 50, 525–556.
Horn, J. [1898b], “Über das Verhalten der Integrale von Differentialgleichungen bei der Annäherung der Veränderlichen an eine Unbestimmtheitstelle (Zweiter Teil),” J. Reine Angew. Math., 119, 196–209.
Horn, J. [1898c], “Über das Verhalten der Integrale von Differentialgleichungen bei der Annäherung der Veränderlichen an eine Unbestimmtheitsstelle (Dritter Teil),” J. Reine Angew. Math., 119, 267–290.
Horn, J. [1899a], “Über eine lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung mit einen willkürlichen Parameter,” Math. Ann., 52, 271–292.
Horn, J. [1899b], “Über lineare Differentialgleichungen mit einem willkürlichen Parameter,” Math. Ann. 52, 340–362.
Horn, J. [1899c], “Über die irregulären Integrale der linearen Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit rationalen Koefficienten,” Acta Math., 23, 171–201.
Horn, J. [1900], “Über die asymptotische Darstellung der Integrale linearer Differentialgleichungen,” Acta Math., 24, 289–308.
Horn, J. [1903], “Untersuchung der Integrale einer linearen Differentialgleichung in der Umgebung einer Unbestimmtheitsstelle vermittelst sukzessiver Annäherungen,” Arch. der Math. u. Phys., (3), 4, 213–230.
Horn, J. [1908], “Über die asymptotische Darstellung der Integrale linearer Differentialgleichungen,” J. Reine Angew. Math., 133, 19–67.
Horn, J. [1910], “Über das Verhalten der Integrale linearer Differenzen- und Differentialgleichungen für große Werte der Veränderlichen,” J. Reine Angew. Math., 138, 159–191.
Jacobi, C.G. [1849], “Versuch einer Berechnung der großen Ungleichheit des Saturns nach einer strengen Entwicklung,” Astro. Nach., 28, 65–80, 81–86 (Werke 7, 145–174).
Jacobsthal, W. [1902], “Asymptotische Darstellung von Lösungen linearer Differentialgleichungen,” Math. Ann., 56, 129–154.
Kelvin, Lord [1887], “On the Waves Produced by a Single Impulse in Water of any Depth or in a Dispersive Medium,” Phil. Mag., (5), 23, 252–255 (Mathematical and Physical Papers 4, 303–306).
Kline, M. [1972], Mathematical Thought from Ancient to Modern Times, New York, Oxford University Press.
Kneser, A. [1896], “Untersuchung und asymptotische Darstellung der Integrale gewisser Differentialgleichungen bei großen reelen Werten des Arguments (Erster Aufsatz),” J. Reine Angew. Math., 116, 178–212.
Kneser, A. [1897a], “Untersuchung und asymptotische Darstellung der Integrale gewisser linearer Differentialgleichungen bei großen reellen Werten des Arguments (Zweiter Aufsatz),” J. Reine Angew. Math., 117, 72–103.
Kneser, A. [1897b], “Einige Sätze über die asymptotische Darstellung von Integrale linearer Differentialgleichungen,” Math. Ann., 49, 383–399.
Kneser, A. [1899], “Untersuchung und asymptotische Darstellung der Integrale gewisser linearer Differentialgleichungen bei großen reellen Werten des Arguments (Dritter Aufsatz),” J. Reine Angew. Math., 120, 267–275.
Langer, R.E. [1931], “On the Asymptotic Solutions of Ordinary Differential Equations with an Application to the Bessel Functions of Large Order,” Trans. Amer. Math. Soc., 33, 23–64.
Langer, R.E. [1932], “On the Asymptotic Solution of Differential Equations with an Application to the Bessel Functions of Large Complex Order,” Trans. Amer. Math. Soc., 34, 447–480.
Laplace, P.S. de [1799], “Mémoire sur les suites,” Mémoires de l'Acad. Sci., 82, (Oeuvres 10, 1–89).
Laplace, P.S. de [1809], “Mémoire sur divers points d'analyse,” J. École Polytech. (Paris) (8) (15 cahier) 229–265 (Oeuvres 14, 178–214).
Laplace, P.S. de [1820], Théorie analytique des probabilities (Oeuvres 5, 88–110).
Legendre, A.M. [1798], Essai sur la théorie des nombres, Paris: Courcier.
Legendre, A.M. [1811], Exercises du calcul intégral, Vol. I, Paris: Courcier.
Liouville, J. [1837], “Second Mémoire sur le développement des fonctions ou parties de fonctions en série dont les divers termes sont assujettis à satisfaire à une même équation différentielle du second ordre, contenant un paramètre variable,” J. Math. Pure Appl., 2, 16–36.
Love, C.E. [1914a], “On the Irregular Integrals of Linear Differential Equations,” Annals of Math., 15, 145–156.
Love, C.E. [1914b], “On the Asymptotic Solutions of Linear Differential Equations,” Amer. J. Math., 36, 151–166.
McHugh, J.A.M. [1971], “An Historical Survey of Ordinary Linear Differential Equations with a Large Parameter and Turning Points,” Arch. History of Exact Sciences, 7, 277–324.
Masani, P. [1959], “On a Result of G.D. Birkhoff on Linear Differential Equations,” Proc. Amer. Math. Soc., 10, 696–698.
Meijer, C.S. [1931], “Asymptotische Entwicklungen von Besselschen und Hankelschen Funktionen für große Werte des Arguments und der Ordnung,” Math. Ann., 108, 321–359.
Meisel, E. [1892], “Neue Entwickelungen über die Bessel'schen Functionen,” Astro. Nach., 129, 281–284, 130, 363–368.
Nielsen, N. [1904], Handbuch der Theorie der Zylinderfunktionen, Leipzig: B.G. Teubner.
Noaillon, P. [1912], Développements asymptotiques dans les équations différentielles linéaires à paramètre variable. Mem. Soc. Roy. Sciences Liege.
Olver, F.W.J. [1954a], “The Asymptotic Solution of Linear Differential Equations of the Second Order for Large Values of the Parameter,” Phil. Trans. Roy. Soc. London, A247, 307–327.
Olver, F.W.J. [1954b], “The Asymptotic Expansion of Bessel Functions of Large Order,” Phil. Trans. Roy. Soc. London, A247, 328–368.
Olver, F.W.J. [1974], Asymptotics and Special Functions, New York: Academic Press.
Perron, O. [1918–1919], “Über die Abhängigkeit der Integrale eines Systems linearer Differentialgleichungen von einem Parameter,” Sitzungsberichte der Heidelberger Akad. der Wissenschaften, Math.-Naturw. Abh., 13 (1918), Abh., 15, (1918) und Abh., 23 (1919).
Poincaré, H. [1885], “Sur les équations linéaires aux differéntielles ordinaires et aux différences finies,” Amer. J. Math., 7, 1–56 (Oeuvres 1, 226–289).
Poincaré, H. [1886], “Sur les intégrales irrégulières des équations linéares,” Acta Math., 8, 295–344 (Oeuvres 1, 290–332).
Poincaré, H. [1904], “Sur la diffraction des ondes électriques,” Proc. Roy. Soc. London, 72, 42–52 (Oeuvres 10, 53–64).
Poincaré, H. [1910], “Sur la diffraction des ondes Hertziennes,” Rend. d. Circolo d. Palermo, 29, 169–259 (Oeuvres 10, 94–203).
Poisson, S.D. [1823], “Sur la distribution de la chaleur dans les corps Solides,” J. École Polytech. (Paris) 12 (Cahier 19), 249–403.
Riemann, B. [1863], Gesammelte Mathematische Werke, (2nd ed. 1892), 424–30 (reprinted by Dover Pub. Inc. N.Y., 1953). This paper, dated October 1863, was reconstructed from fragmentary notes by H.A. Schwarz.
Sauvage, L. [1886], “Sur les solutions régulières d'un système d'équations différentielles,” Ann. de l'École Norm. Sup., (3), 3, 391–404
Schlesinger, L. [1907], “Über asymptotische Darstellungen der Lösungen linearer Differentialsysteme als Funktionen eines Parameters,” Math. Ann., 63, 277–300.
Sternberg, W. [1919], “Über die asymptotische Integration von Differentialgleichungen,” Math. Ann., 81, 118–186.
Stieltjes, T.J. [1886], “Recherches sur quelques séries sémiconvergentes,” Ann. de l'École Norm. Sup., (3), 3, 201–258 (Collected Works, 1, 2–58).
Stokes, G. [1856], “On the Numerical Calculation of a Class of Definite Integrals and Infinite Series,” Trans. Camb. Phil. Soc. 9, 166–187 (Math. and Phys. Papers 2, 329–357).
Stokes, G. [1864], “On the Discontinuity of Arbitrary Constants which appear in Divergent Developments,” Trans. Camb. Phil. Soc., 10, 106–128 (Math. and Phys. Papers 4, 77–109).
Stokes, G. [1871], “Supplement to a Paper on the Discontinuity of Arbitrary Constants which Appeared in Divergent Developments,” Trans. Camb. Phil. Soc., 9, 412–425 (Math. and Phys. Papers 4, 283–298).
Tamarkin, J. D. [1917], “Some Problems from the Theory of Linear Differential Equations” (in Russian), Petrograd.
Tamarkin, J. D., & Besicowitsch, A. [1924], “Über die asymptotischen Ausdrücke für die Integrale eines Systems linearer Differentialgleichungen die von einem Parameter abhängen,” Math. Ann., 21, 119–125.
Tamarkin, J. D. [1927], “Some General Problems of the Theory of Ordinary Linear Differential Equations and Expansions of an Arbitrary Function in Series of Fundamental Functions,” Math. Zeit., 27, 1–54.
Thomé, L. W., [1877], “Zur Theorie der linearen Differentialgleichungen,” J. Reine Angew. Math., 83, 89–111.
Thomé, L. W. [1884], “Zur Theorie der linearen Differentialgleichungen,” J. Reine Angew. Math., 96, 185–281.
Trjitzinsky, W. J. [1934], “Analytic Theory of Linear Differential Equations,” Acta Math., 62, 167–227.
Trjitzinsky, W. J. [1936], “Theory of Linear Differential Equations Containing a Parameter,” Acta Math., 67, 1–50.
Trjitzinsky, W. J. [1938], “Singular Point Problems in the Theory of Linear Differential Equations,” Bull. Amer. Math. Soc., 44, 209–223.
Turrittin, H. L. [1963], “Reduction of Ordinary Differential Equations to the Birkhoff Canonical Form,” Trans. Amer. Math. Soc., 107, 485–507.
Veen, S. C. Van [1931], “Asymptotische Entwicklung und Nullstellenabschätzung der Hermitischen Funktionen,” Math. Ann., 105, 408–436.
Watson, G. N. [1917], “Bessel Functions and Kapteyn Series,” Proc. London Math. Soc., (2), 16, 1950–174.
Watson, G. N. [1918a], “The Harmonic Functions Associated with the Parabolic Cylinder,” Proc. London Math. Soc., (2), 17, 116–148.
Watson, G. N. [1918b], “The Limits of Applicability of the Principle of Stationary Phase,” Proc. Camb. Soc., 19, 49–55.
Watson, G. N. [1962], Theory of Bessel Functions, 2nd Ed., London: Cambridge Univ. Press.
Weber, H. [1890], “Zur Theorie der Bessel'schen Functionen,” Math. Ann., 37, 404–416.
Weirstrass, K. [1842], “Definition analytischer Functionen einer Veränderlichen vermittelst algebraischer Differentialgleichungen” (Werke 1, 75–85).
Whittaker, E. T. [1902], “On the Functions Associated with the Parabolic Cylinder in Harmonic Analysis,” Proc. London Math. Soc., 35, 417–427.
Whittaker, E. T. [1903], “An Expression of Certain Known Functions as Generalized Functions,” Bull. Amer. Math. Soc., 10, 125–134.
Whittaker, E. T., & Watson, G. N. [1927], A Course of Modern Analysis, 4th Ed., New York, Cambridge Univ. Press.
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Schlissel, A. The development of asymptotic solutions of linear ordinary differential equations, 1817–1920. Arch. Hist. Exact Sci. 16, 307–378 (1977). https://doi.org/10.1007/BF00348307
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