This is a preview of subscription content, log in via an institution to check access.
Bibliographie
Im folgenden sollen, wie bereits erwähnt, nichtleere Punktmengen in Betracht gezogen werden. Was die Bezeichnung + für die Minkowskische Summe anbetrifft, so habe ich geschwankt, ob ich diese durchA+B oderA×B bezeichne. Bei der ersten Bezeichnung läuft man Gefahr, eine Verwechslung mit der Vereinigung herbeizuführen, die zweite ist anderweitig in Anspruch genommen. So blieb ich bei der üblichen Bezeichnung. Lediglich im FalleA+...+A (m mal) empfiehlt sich die Bezeichnungm×A, da es hier wegen der Gleichheit der Summanden auf deren Anordnung nicht ankommt. Die SchreibweisemA würde hier zu einer Verwechslung mit der Menge (1.2) führen, die im allgemeinen vonm×A verschieden ist.
Man vgl. z. B.Rado, T., u.P. V. Reichelderfer: Continuous Transformations in Analysis, S. 192. Berlin-Göttingen-Heidelberg: Springer 1955.
Henstock, R., u.A. M. Macbeath: On the Measure of Sum-Sets (I). The theorems ofBrunn, Minkowski andLusternik. Proc. Lond. Math. Soc., Ser. III3, 182–195 (1953).
In ihrer einfachsten Form (g(P)=1 fürP∈A undA spezieller Struktur) geht diese Transformation auf eine mündliche Mitteilung vonErhard Schmidt aus dem Jahre 1942 zurück. [Man vgl. darüber meinen Aufsatz: Über einen geometrischen Satz vonWulff für die Gleichgewichtsformen von Kristallen. Z. Kristallogr (A)105, 304–314 (1943).]
Man vgl. z. B.Caratheodory, C.: Reelle Funktionen I, S. 100. Leipzig und Berlin: Teubner 1939.
Hardy-Littlewood-Polya: Inequalities, S. 39. Cambridge: Univ. Press 1952.
Das Schicksal des Gedankens vonBrunn, der ursprünglich in der Zuordnung von parallelen Schnitten zweier konvexer Körper durch gleiche Volumenverhältnisse bestand, und der zur Aufstellung des Brunn-Minkowskischen Satzes führte, ist merkwürdig.Minkowski (Werke Bd. 2, S. 125) zitiert in diesem Zusammenhang die StelleBrunns (Dissertat. S. 31): “Zum Beweis der isoperimetrischen Eigenschaft der Kugel läßt sich allerdings dieser Gedanke nicht verwerten.” Es ist interessant, daßMinkowski, der dies für konvexe Körper getan hat, nicht bemerkte, daß dieses Verfahren unter Zugrundelegung auch nicht konvexer PunktmengenA 1 zum Ziele führt. AuchBonnesen (Les problèmes des isopérimètres et des isépiphanes, Gauthier Villars, Paris 1929) ist ähnlicher Ansicht. So schreibt er (loc. cit. S. 111) im Zusammenhang mit der isoperimetrischen UngleichungO 3−36πV 2≧0 für konvexe Körper: “Cette inégalité subsiste aussi pour les corps non convexes, mais on ne peut pas l'obtenir par ces méthodes.” In meiner Wiener Arbeit [Sitzungsber. Akad. Wissensch. Wien, Mathem.-Naturwiss. Kl.149, 399–432 (1940)] und in der zusammen mitErhard Schmidt (Abhandl. Preuß. Akad. Wissensch. Jg. 1943, Mathem.-Naturwiss. Kl. Nr. 7, 1944, 18 S.) publizierten Abhandlung ist zum ersten Male gezeigt worden, daß diese Methoden tatsächlich dafür ausreichen.Bonnesen hielt allerdings (loc. cit. Les problèmes des isopérimètres et des isépiphanes, Gauthier Villars, Paris 1929 S. 147) von Verallgemeinerungen im SinneTonellis, Gross' und Nachfolger nicht viel. (“Or du point de vue géométrique, ces sortes de hérissons ne sont pas particulièrement interessantes.”)
Wie der Leser sieht, führt der Brunnsche Gedanke über den Lusternikschen Satz hinaus.
Über zwei allgemeine Sätze von Brunn-Minkowski-Lusternikschem Typus, Det. Kongel. Norske Videnskabers Selskabs Forhandl.28, Nr. 33 (1955).
loc. cit., S. 188.
Henstock-Macbeath, S. 188.
loc. cit., S. 189.
Man vgl. z. B:MacShane: Integration, S. 81. Princeton: Univ. Press 1947.
Sierpinski, W.: Sur la question de la mesurabilité de la base deM. Hamel. Fundam. Math.1, 105–111 (1920).
Im Falle, wo (Borelsche) Meßbarkeitsfragen auf dem Spiele stehen, wird angenommen, daß die Menge {x‖g A(x)=0} das Borelsche Maß Null hat.
IstA nicht beschränkt, so kannI(g A‖A) durch Ausschöpfung vonA durch eine ansteigende Folge beschränkter Punktmengen definiert werden.
In der letzten Zeit ist auchHadwiger auf allgemeinere superadditive Funktionale innerhalb Minkowskischer Halbmoduln konvexer Körper gestoßen. Eine schöne Darstellung der Hadwigerschen Ergebnisse findet der Leser in seiner Arbeit, Konkave Eikörperfunktionale, Monatsh. Math.59, 230–237 (1955). Auf die mehrere Jahre zurückliegende Leistung vonHerbert Knothe komme ich in der nächsten Nummer zurück.
Es entspricht nicht ganz dem Geist moderner Forschung, wenn ich diesen Satz als GanzesKnothe zuschreibe. WasKnothe in seinem Bericht während der Mathematiker-Tagung in Tübingen im Jahre 1946 ohne Beweis mitgeteilt hat (man vgl. Bericht über die Mathematiker-Tagung in Tübingen, H. Laupp, Tübingen 1946, S. 91–92), ist nur die Ungleichung (7.1). An Stelle der Voraussetzung (6.5) wird dort lediglich die Forderung der logarithmischen Konkavität vong A (in bezug auf die Minkowskische lineare Kombination) gestellt, jedoch wird in dem kurzen Bericht kein Anhaltspunkt gegeben, wie man dann den Beweis durchführen soll. Später, im Juni 1956, nach Beendigung der Redaktion dieser Arbeit, hat mir KerrKnothe brieflich einen Beweis skizziert, der sich auf die zunächst von ihm entwickelte, allgemeine Methode der Sehnenpotenzenintegrale stützt. Es besteht jedoch kaum Zweifel, daß er auch auf den vollen Satz 4 gekommen wäre, falls er in der eingeschlagenen Richtung weitergeforscht hätte. Aus diesem Grunde scheint mir die Benennung des Satzes nach ihm vollkommen gerechtfertigt.
Man vgl. z. B. Fußnote 6).—.
Author information
Authors and Affiliations
Rights and permissions
About this article
Cite this article
Dinghas, A. Über eine Klasse superadditiver Mengenfunktionale von Brunn-Minkowski-Lusternikschem Typus. Math Z 68, 111–125 (1957). https://doi.org/10.1007/BF01160335
Received:
Issue Date:
DOI: https://doi.org/10.1007/BF01160335