This is a preview of subscription content, log in via an institution to check access.
References
Vgl. O. Schreier, Über die Erweiterung von Gruppen I, Monatsh. f. Math. u. Phys.34 (1926), S. 165–180, besonders Satz 1, S. 168.
Vgl. z. B. R. Brauer: Über die algebraische Struktur von Schiefkörpern, Journ. f. d. reine u. angew. Math.166 (1932), S. 241–252.
Es sei auf die folgende Anwendung dieser Folgerung 2 hingewiesen: Sei 380-1 die Poincarésche Fundamentalgruppe einer geschlossenen, orientierbaren Fläche vom Geschlecht ≧ 2, undT die Gruppe aller topologischen Abbildungen dieser Fläche auf sich. Dann induziert jedes Elementt ausT genau eine Automorphismenklasse X(t) von 381-1. X(t) ist ein Kollektivcharakter vonT in 381-2, und, da das Zentrum von 381-3 allein aus der Identität besteht [vgl. J. Nielsen, Acta math.50 (1927), S. 191–358, insbesondere S. 198, wo angegeben ist, daß zwei Elemente aus 381-4 dann und nur dann vertauschbar sind, wenn sie in derselben zyklischen Untergruppe von 381-5 enthalten sind, woraus unsere Behauptung folgt], so gibt es eine und nur eine X(t)-T-Erweiterung 381-6 von 381-7. Diese kann man sich auch als Gruppe aller der topologischen Abbildungen der zugehörigen universellen Überlagerungsfläche darstellen, bei denen Paare äquivalenter Punkte in Paare äquivalenter Punkte übergehen [die Gruppe derT-Funktionen vgl. J. Nielsen, a. a. O., Acta math.50 (1927), S. 265]. — Versteht man unterD die Gruppe der topologischen Deformationen der Fläche, so ist dann und nur dann X(t 1)=X(t 2), wennt 1·t −11 inD liegt [vgl. R. Baer, Journ. f. d. reine u. ang. Math.159 (1928), S. 101–116, besonders Satz 3, § 3];D ist Normalteiler vonT, und jede Automorphismenklasse von 381-8 wird durch Abbildungen ausT induziert [vgl. J. Nielsen, a. a. O., Acta math.50 (1927), S. 266, Satz 11], so daß alsoT/D und die GruppeG der Automorphismenklassen einstufig isomorph aufeinander bezogen sind. Gemäß Folgerung 2 gibt es also auch eine eindeutig bestimmte X-T/D-Erweiterung 381-9 von 381-10, und durch Elemente aus 381-11 wird jeder Automorphismus von 381-12 genau einmal induziert. 381-13 entsteht aus 381-14 gewissermaßen durch Zerlegung nach dem NormalteilerD der Faktorgruppe 381-15.
Diese finden z. B. in Schreiers Untersuchungen über Erweiterungen von Gruppen [vgl. Fußnote 1)] und in der Theorie der hyperkomplexen Systeme (vgl. etwa R. Brauer, Math. Zeitschr.28 (1928), S. 677–696;30 (1929), S. 79–107) Anwendung.
; vgl. auch J. Schur, Math. Zeitschr.5 (1919), S. 9, Satz 1.
Man pflegt derartige Paare von Faktorensystemen als assoziiert zu bezeichnen. Vgl. R. Brauer, Math. Zeitschr.28 (1928), S. 677–696.
Es liegt hier eine Verallgemeinerung der Begriffe: Gruppenpaarung [vgl. etwa W. Threlfall und H. Seifert, Math. Annalen104 (1930), S. 15], meromorphes Produkt [Remak, Journ. f. reine u. angew. Math.163 (1930), S. 6] auf nicht teilerfremde Gruppen vor [vgl. auch J. Schur, ebenda Journ. f. reine u. angew. Math.139 (1911), S. 207]. Ähnlich ist auch das direkte Produkt hyperkomplexer Systeme [vgl. R. Brauer, a. a. O. Über die algebraische Struktur von Schiefkörpern, Journ. f. d. reine u. angew. Math.166 (1932), S. 241–252. Anm. 4)], jedoch müssen dort Klassen nicht-isomorpher Systeme (die nur dasselbe Zentrum haben) gebildet werden.
Vgl. N. Tschebotaröv, Zur Gruppentheorie des klassenkörpers, Journ. f. d. r. u. a. Math.161 (1929), S. 191, Satz 14. — Siehe ach hier den Satz des § θ.
Vgl. O. Schreier:, Satz III.
Erweiterungen, die in der erweiterten Gruppe nur Isomorphismen, nicht notwendig Automorphismen induzieren, sind bisher wenig untersucht worden; einen Spezialfall behandelt z. B. A. Scholz: Ein Beitrag zur Theorie der Zusammensetzung endlicher Gruppen, Math. Zeitschr.32 (1930), S. 187–189.
Im Sinne von H. Prüfer; vgl. auch R. Baer: Zur Einführung des Scharbegriffs, Journ. f. d. reine u. angew. Math.160 (1929), S. 199–207. Es sei ausdrücklich darauf hingewiesen, daß, von dem Fall abgesehen, daß in der Charakterschar der Hauptcharakter auftritt, es nicht möglich ist, diese Schar in natürlicher Weise zu einer Gruppe zu machen, ja noch nicht einmal sie als Restklasse nach einer Untergruppe aufzufassen.
Author information
Authors and Affiliations
Rights and permissions
About this article
Cite this article
Baer, R. Erweiterung von Gruppen und ihren Isomorphismen. Math Z 38, 375–416 (1934). https://doi.org/10.1007/BF01170643
Received:
Issue Date:
DOI: https://doi.org/10.1007/BF01170643