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Überdeckung ebener Bereiche durch Kreise und Quadrate

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Commentarii Mathematici Helvetici

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Literatur

  1. H. Hadwiger, Über Mittelwerte im Figurengitter. Coment. Math. Helv. 11, 221–233 (1938/1939) Formel (I), 223. Die Mittelwertsformel stellt eine Anwendung der Hauptformel der ebenen Integralgeometrie auf die Berechnung geometrischer Mittelwerte in Gittern dar. VergleicheW. Blaschke, Vorlesungen über Integralgeometrie. 1. Heft, zweite erweiterte Auflage. Leipzig und Berlin 1936, S. 20.

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  2. Bedeutet hier “immer” mit Ausnahme von Lagen der integralgeometrischen “Anzahl” Null.

  3. Betreffend die analoge Fragestellung im Raume sollen noch zwei Ergebnisse ohne weitere Ausführungen mitgeteilt werden:Es genügen stets \(\left[ {V + \frac{3}{4}O + \frac{3}{{2\pi }}M + 1} \right]\) Einheitswürfel (Kante=1)und \(\left[ {\frac{{3\sqrt 3 }}{8}V + \frac{9}{{16}}O + \frac{{3\sqrt 3 }}{{4\pi }}M + 1} \right]\) Einheitskugeln (Radius = 1)um einen konvexen Bereich vom Volumen V, der Oberfläche O und der Kantenkrümmung (Integral der mittleren Krümmung) M zu überdecken.

  4. E. S. Fedoroff, Reguläre Plan-und Raumteilung. Abhandl. k. Bayer. Ak. Wiss. II. Cl. 20 (1899). Vgl. auch nachstehende Figur.

  5. Vgl. die in Fußnote —— zitierte Note, S. 232, Formel (VI).

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  6. Vgl. auch die analoge geläufige Schlußfolgerung, die man aus den kinematischen Hauptformeln der ebenen Integralgeometrie ziehen kann beiW. Blaschke in dem in Fußnote —— erwähnten Buch, S. 45.

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  7. Es ist nicht möglich, für die gegenseitige Bedeckbarkeit zweier Bereiche notwendige und zugleich hinreichende Bedingungen, in die nur die Flächeninhalte und Randlängen eingehen, anzugeben. Dies zeigt das folgende Beispiel: Es sei\(\mathfrak{G}_0\) der Einheitskreis und\(\mathfrak{G}\) ein gleichschenkliges Dreieck mit der Grundliniea=21/10 und der Höheh=63/80. Da der Durchmesser von\(\mathfrak{G}\) größer als 2 ist, kann\(\mathfrak{G}\) nich durch\(\mathfrak{G}_0\) bedeckt werden. Es gibt aber ein Rechteck, das gleichen Flächeninhalt und gleichen Umfang besitzt wie\(\mathfrak{G}\) mit der Diagonallänge\(d = \frac{{21}}{{80}}\sqrt {57} \sim 1,981..\), das also durch\(\mathfrak{G}_0\) bedeckt werden kann.

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  1. Bern

    H. hadwiger

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  1. H. hadwiger
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hadwiger, H. Überdeckung ebener Bereiche durch Kreise und Quadrate. Commentarii Mathematici Helvetici 13, 195–200 (1940). https://doi.org/10.1007/BF01378060

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