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Literatur
E. Stiefel, Richtungsfelder und Fernparallelismus inn-dimensionalen Mannigfaltigkeiten, Comment. Math. Helvet.8 (1936), 305–353.
A. a. O., 349, sowie besonders:E. Stiefel, Über Richtungsfelder in den projektiven Räumen und einen Satz aus der reellen Algebra, Comment. Math. Helvet.13 (1941), 201–218.
H. Hopf, Zur Algebra der Abbildungen von Mannigfaltigkeiten, Crelles Journ.163 (1930), 71–88.–Neue Begründung und Verallgemeinerung:H. Freudenthal, Zum Hopfschen Umkehrhomomorphismus, Ann. of Math.38 (1937), 847–853; ferner:A. Komatu, Über die Ringdualität eines Kompaktums, Tôhoku Math Journ.43 (1937), 414–420;H. Whitney, On Products in a complex, Ann. of Math.39 (1938), 397–432 (Theorem 6).
F. Behrend, Über Systeme reeller algebraischer Gleichungen, Compos. Math.7 (1939), 1–19.
Ohne die Forderung, daß die Funktionenf ν ungerade seien, ist die Frage un-interessant; denn die eine Funktionf=∑x 2ϱ ·∑y 2σ bildet immer ein definites System.
Interessante Beschränkungen vonn * nachoben gibtBehrend, a. a. O.4),. § 4.
Für bilineare Formenf ν vonStiefel, a. a. O. ——, Comment. Math. Helvet.13 (1941), 201–218, für beliebige Formen ungerader Grade vonBehrend, a. a. O.4),F. Behrend, Über Systeme reeller algebraischer Gleichungen, Compos. Math.7 (1939), 1–19, bewiesen.
Alexandroff-Hopf, Topologie I (Berlin 1935), 485, Satz VIII. a) Da der Satz B bekannt ist, darf man im Beweis des Satzes I auf den Falls=1 (und ebenso auf den Fallr=1) verzichten. Wir werden dies nicht tun, müssen aber einige Male (Fußnoten b), c), d), e)) auf Modifikationen hinweisen, welche durch die beiden genannten Fälle bedingt sind. Ausschließen wollen wir jedoch den ganz trivialen Fallr=s=1; in ihm lautet die Behauptung des Satzes I nur:n≧1.
A. Hurwitz, Über die Komposition der quadratischen Formen, Math. Ann.88 (1923), 1–25 (Math. Werke, Bd. II, 641–666).–J. Radon, Lineare Scharen orthogonaler Matrizen, Abh. math. Sem. Hamburg1 (1922), 1–14. — Die obige Formulierung stammt von Radon.
A. Hurwitz, Über die Komposition der quadratischen Formen von beliebig vielen Variablen, Nachr. Ges. d. Wiss. Göttingen 1898, 309–316 (Math. Werke, Bd. II, 565–571).
Übrigens besteht ein prinzipieller Unterschied zwischen den Hurwitz-Radonschen und unseren Sätzen: jene gelten, wie aus den beiden Arbeiten von Hurwitz hervorgeht, nicht nur für reelle, sondern auch für komplexe Bilinearformen, allgemeiner sogar für solche, deren Koeffizienten einem beliebigne Körper, dessen Charakteristik ≠2 ist, angehören.
Auf der vorletzten Seite der Arbeit8) von Hurwitz sind diese Matrizen angegeben.
Die Sätze der Nummern 6 und 7 folgen aus dem Spezialfall des Satzes I, in dem dief ν bilineare Formen sind; sie ergeben sich daher auch aus den in der Einleitung genannten Arbeiten von Stiefel und von Behrend; insbesondere liefert die Arbeit von Behrendalgebraische Beweise für diese Sätze.
Man vergleiche z. B.:L. E. Dickson, Algebren und ihre Zahlentheorie (Zürich 1927), § 133.
Im Anhang II kommen wir noch einmal auf Algebren zurück.
Unter einer “Abbildung” einer Mannigfaltigkeit wird immer einestetige Abbildung verstanden. b) Ists=1, so istP s−1 ein Punkt, (2a) inhaltslos und die Ungeradheit vonF also allein durch (2b) charakterisiert; die Behauptung lautet:n≥r. Man vergl. Fußnote.a)
Obere Indizes sind im folgenden immerExponenten (nicht etwa Dimensionszahlen).
In einerk-dimensionalen MannigfaltigkeitL heißt die (k-d)-dimensionale Homologiebasis {z ′1 ,...z ′ q } zu derd-dimensionalen Homologiebasis {z 1,...z q } dual, wenn für die Schnittzahlen gilt: (z ′ i ·z i )=1, (z ′ h ·z i )=0 fürh≠i. Nach dem Poincaré-Veblenschen Dualitätssatz gibt es in jeder geschlossenen Mannig-faltigkeit, gleichgültig ob orientierbar oder nicht, zu jeder Basis eine (und nur eine) duale, vorausgesetzt, daß der Ring mod. 2 als Koeffizientenbereich dient. Man vergleicheSeifert-Threlfall, Lehrbuch der Topologie (Leipzig und Berlin 1934), 253, Satz III.
Einen Beweis erhält man z. B., indem man den § 3 des Kap. VII in dem Buche6) vonAlexandroff-Hopf dadurch abändert (und wesentlich vereinfacht), daß man den dort zugrunde gelegten ganzzahligen Koeffizientenbereich durch den Ring mod. 2 ersetzt.
S. Lefschetz, Topology (New York 1930), 238, Formel (21)—aber, da wir mod. 2 arbeiten, ohne Berücksichtigung von Vorzeichen. c)Ists=1, so besteht die erste dieser Basen nur ausX r−2.Y s−1, die zweite nur ausX; analog fürr=1; man vergleiche Fußnoteb). d)Ists=1 oderr=1, so lautet (8) einfach:X n=0 bzw.Y n=0.
Man vergleiche die unter ——. zitierten Arbeiten; die von mir a. a. O. gemachte Voraussetzung, daß die beiden Mannigfaltigkeiten gleiche Dimension haben, ist unnötig. Da wir den Koeffizientenbereich mod. 2 zugrunde legen, brauchen wir nichts über die Orientierbarkeit der Mannigfaltigkeiten vorauszusetzen.
Alexandroff-Hopf, wie6), 169. a) Da der Satz B bekannt ist, darf man im Beweis des Satzes I auf den Falls=1 (und ebenso auf den Fallr=1) verzichten. Wir werden dies nicht tun, müssen aber einige Male (Fußnoten b), c), d), e)) auf Modifikationen hinweisen, welche durch die beiden genannten fälle bedingt sind. Ausschließen wollen wir jedoch den ganz trivialen Fallr=s=1; in ihm lautet die Behauptung des Satzes I nur:n≧1.
Der Satz C ergibt sich auch unmittelbar aus jeder einzelnen der verschiedenen Definitionen von φ 3). ich will hier aber auf diese Definitionen nicht eingehen, sondern zeigen, daßalle Eigenschaften von φ aus den Eigenschaften (A) und (B) folgen.
Der Null-Zyklus ist homogen-dimensional von jeder Dimension.
Zyklen negativer Dimension sind immer gleich 0 zu setzen. e)Fürs=1 hat man den Beweis folgendermaßen zu modifizieren: Nur die zweite Gleichung (19) ist sinnvoll, (20) lautet: φ(ξ)=X, und daraus folgtX n=0; analog fürr=1. Man vergleiche die Fußnoten a), b), c), d).
Die Sätze dieses Anhanges stammen von Stiefel, a. a. O.2).
Stiefel, a. a. O.1).
Für diese Dimensionszahlenk erhält mank stetige, durchweg linear unabhängige Richtungsfelder imP k mit Hilfe der Matrizen (g σν), die am Schluß von Nr. 5 angegeben sind.
H. Hopf, Systeme symmetrischer Bilinearformen und euklidische Modelle der projektiven Räume, Vierteljahrsschrift der Naturforsch. Gesellschaft Zürich LXXXV (1940) (Festschrift Rudolf Fueter), 165–177.
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Hopf, H. Ein toplogischer Beitrag zur reellen Algebra. Commentarii Mathematici Helvetici 13, 219–239 (1940). https://doi.org/10.1007/BF01378062
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