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References
Für dieReihe ∑(a m −a m −1); es fehlt an einem entsprechenden Ausdruck fürFolgen.
O. Toeplitz, Über allgemeine lineare Mittelbildungen, Prace Matematyczno-Fizyczne,22 (1911), S. 113–119.
Nur für eine total monotone Folge mitμ 0=1 stellen die Gleichungen (13) eine lineare.Mittel bildung im eigentlichen Sinne dar.
Dies ist, soviel ich weiß, nur in der (nach Abfassung der vorliegenden Arbeit durch freundliche Mitteilung des Herrn I. Schur zu meiner Kenntnis gelangten) Abhandlung bemerkt worden: W. A. Hurwitz and L. L. Silverman, On the consistency and equivalence of certain definitions of suminability, Transact. Amer. Math. Soc.,18 (1917), S. 1–20. Daß es nicht häufiger geschehen ist, dürfte an der verbreiteten Gewohnheit liegen, in der Definition (15) der Cesàroschen Mittel den Divisor 82-1 durch den (fürn→∞) äquivalenten (n+1)α∶Λ(α+1) zu ersetzen, also an Stelle der “natürlichen” Cesàroschen MatrixC α die “modifizierte”\(C_\alpha ^* = E_\alpha C_\alpha \approx C_\alpha \) zu betrachten, woE α die Diagonalmatrix mit dem allgemeinen Gliede 82-2 ist. Vgl. dazu Fußnote 8).
Als solche werden sie von Hurwitz und Silverman (loc. cit. 4)) behandelt und in der Form λ=φ(H) dargestellt, die definitionsgemäß (im Einklang mit dem Spezialfall eines Polynoms φ(x)) der Multiplikatorenfolge 84-1 entspricht; φ(x) wird dabei fürx=0 als regulär angenommen. Aber gerade diese Annahme ist zu eng (sie läßt z. B. Cesàrosche und Höldersche Matrizen nur von ganzzahliger Ordnung zu) und das Hauptergebnis der Verf., daß eine für 84-2 reguläre Funktion φ(x) eine reineC-Matrix φ(H) liefert, hat nur hinreichenden, nicht notwendigen Charakter.
Wegen der Vertauschbarkeit aller unserer Matrizen können wir Matrizenquotienten mit Doppelpunkt oder Bruchstrich schreiben. Aus demselben Grunde dürfen hier Äquivalenzen multipliziert werden (§1), wobei aus reinen (normierten) Äquivalenzen wieder solche entstehen.
K. Knopp, Grenzwerte von Reihen bei Annäherung an die Konvergenzgrenze, Diss. Berlin 1907. W. Schnee, Die Identität des Cesàroschen und Hölderschen Grenzwertes, Math. Ann.,67 (1909), S. 110–125. W. B. Ford, On the relation between the sum-formulas of Hölder and Cesàro, Amer. Journ. of Math.,32 (1910), S. 315–326. I. Schur, Über die Äquivalenz der Cesàroschen und Hölderschen Mittelwerte, Math. Ann.,74 (1913), S. 447–458.
Mit der FormelC α C β≈C α+β für “natürliche” Cesàrosche Matrizen verwandt, aber nicht identisch ist die für “modifizierte”(s. Fußnote 4)).C *α C *β ≈C *α+β , die als Spezialfall in einem von Herrn G. Faber, Über die Hölderschen und Cesàroschen Grenzwerte, Münch. Ak. Ber. 1913, S. 519–531, bewiesenen allgemeinen Grenzwertsatz enthalten ist.
J. Liouville, Détermination des valeurs d'une classe remarquable d'intégrales définies multiples, Journ. de Math. (2),1 (1856), S. 82–88.
Daß diesen total monotone Multiplikatorenfolgen entsprechen, kann man nach einer brieflichen Mitteilung von Herrn I. Schur noch elementarer beweisen.
T. J. Stieltjes, Recherches sur les fractions continues, Ann. Fac. Toulouse,8 (1894), S. 1–122;9 (1895), S. 1–47. Vgl. auch O. Perron, Die Lehre von den Kettenbrüchen (Teubner, 1913), Kap. 9. In § 11 beweisen wir Satz III ohne Berufung auf die Stieltjessche Theorie.
S. Bernstein, Démonstration du théorème de Weierstraß, fondée sur le calcul des probabilités, Commun. Soc. Math. Charkow (2)13 (1912), S. 1–2.
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Hausdorff, F. Summationsmethoden und Momentfolgen. I. Math Z 9, 74–109 (1921). https://doi.org/10.1007/BF01378337
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