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References
Die Bezeichnungen “Typ” und “Gattung” wurden hier umgangen, um die Assoziation einer Stufung zu vermeiden.
J. Herbrand, Recherches sur la théorie de la démonstration (Thèse Paris), Warschau 1930, Kap. 3, Abschnitt 3.4–3.42 erster Absatz.
Hilbert-Ackermann, Grundzüge der theoretischen Logik, Berlin 1928, Kap. 3; Hilbert-Bernays, Grundlagen der Mathematik, Bd. 1, Berlin 1934, Kap. 4; Hilberts Vorträge zur Grundlegung der Mathematik.
Man hat sich die Zeichen des Vorrats der Prädikatentheorie irgendwie etwa als lateinische Buchstaben mit oder ohne Zahlindex) vorzustellen; so können als Termvariablen der ersten Sorte etwa die Zeichenv 1,v 2,v 3, ... gelten. Da im folgenden außer den Verknüpfungszeichen kein Zeichen des Vorrats selbst angeführt wird, kann hier auf die konkrete Aufführung verzichtet werden.
Ein Zeichen des Vorrats kann in einem Term und ebenso in einer Formel offenbar mehrfach auftreten. Es empfiehlt sich, in solchem Falle, wie die nachfolgende Verabredung zur Mitteilung genauer festlegt, von mehreren Zeichen des Terms bzw. der Formel, welche gestaltlich übereinstimmen, zu reden.
Die induktive Definition der Formel mit weitestgehender Benutzung der Klammern gestattet offenbar, eine gegebene Formel in eindeutiger Weise als Grundformelkette zu jedem ihrer Bestandteile darzustellen.
Der Indexo kürzt das Wort “ohne” ab.
Anmerkung bei der Korrektur. Inzwischen wurde in der 2. Auflage von Hilbert-Ackermann: “Grundzüge der theoretischen Logik” ein von P., Bernays herrührender Unabhängigkeitsnachweis für die Axiome und Schlußschematen des Hilbertschen engeren Prädikatenkalkuls gegeben. Da dieser, wie man unschwer erkennt, eine unmittelbare modifizierte Verallgemeinerung auf eine von β-Axiomen freien-sortige Prädikatentheorie gestattet, kann an Stelle eines ursprünglich hier angefügten Unabhängigkeitsnachweises auf jene kurze Überlegung a. a. O. Kap. III, § 9, verwiesen werden.
Im Hilbertschen Prädikatenkalkul, in welchem bei denjenigen „Axiomen” und „Schlußschematen”, denen hier die Übergangsschematen ɛ−ϑ entsprechen, die Stelle der Hauptindikators durch einen ausgezeichneten, festen Indikatorx des Rahmens („gebundene Variable”) ausgefüllt ist, ist ein Schluß der Art η („Regel der Umbenennung der gebundenen Variablen”) unentbehrlich. Betreffs Zusammenlegung der γ-Übergänge im Hilbertschen Prädikatenkalkul vgl. „Rückverlegung der Einsetzungen”; Hilbert-Bernays, Grundlagen der Mathematik. Bd. 1, S. 231–233.
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Schmidt, A. Über deduktive Theorien mit mehreren Sorten von Grunddingen. Math. Ann. 115, 485–506 (1938). https://doi.org/10.1007/BF01448954
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