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References
Der Indexs bedeutet wie üblich Differentiation nachs.
In Pólya-Szegö, Aufgaben und Lehrsätze 2, Berlin: Julius Springer, 1925, S. 165 und 391, Aufgabe 13.
Beweise hierfür findet man in den folgenden Abhandlungen: E. Steinitz, Bedingt konvergente Reihen und konvexe Systeme, Journ. f. reine u. angew. Math.143, S. 128 ff.; E. Schmidt, Zum Hilbertschen Beweise des Waringschen Theorems, Math. Annalen74, S. 271; C. Carathéodory, Über den Variabilitätsbereich der Fourierschen Konstanten von positiven harmonischen Funktionen, Rend. del Circ. matem, di Palermo32, S. 193 ff.
Der Index σ bedeutet Differentiation nach σ.
W. Blaschke,, S. 13.
Sämtliche in diesem Paragraphen benutzten, Eigenschaften konvexer Punktmengen sind hergeleitet bei Steinitz a. a. O., Bedingt konvergente Reihen und konvexe Systeme, Journ. f. reine u. angew. Math. 143, E. Schmidt Zum Hilbertschen Beweise des Waringschen Theorems, Math. Annalen 74, S. 271;a. a. O., Carathéodory Über den Variabilitätsbereich der Fourierschen Konstanten von positiven harmonischen Funktionen, Rend del Circ. matem. di Palermo 32, S. 193 ff.
Zwei abgeschlossene Punktmengen, von denen die eine beschränkt ist, haben eine positive Minimalentfernung, falls sie punktfremd sind. Haben sie Punkte gemeinsam, so soll die Entfernung Null gesetzt werden.
Eine Menge heißt kompakt, wenn jede unendliche Teilmenge ein Häufungselement besitzt. Dieser Begriff wie auch der der Stetigkeit erfordert die Definition des Häufungselementes. Es ist hier naturgemäß die folgende zu verwenden: Die im Text betrachteten Halbebenen sind festgelegt durch ihre orientierten Begrenzungsgeraden. Die orientierten Geraden durch einen Punkt in einer Ebene lassen sich festlegen durch die Punkte des Einheitskreises in dieser Ebene. Man hat die Definition des Häufungspunktes auf die Halbebenen zurück zu übertragen. Später werden noch Funktionen der Ebenen durch einen Punkt und der Halbräume, deren Begrenzungsebenen einen festen Punkt enthalten, betrachtet. Hier verfährt man analog. Die Ebenen entsprechen den Paaren diametraler Punkte auf der Einheitskugel, die Halbräume den orientierten Ebenen, also den Punkten auf der Einheitskugel.
Beweise für diesen Satz finden sich in den genannten Abhandlungen von Steinitz, E. Schmidt und Carathéodory.
Herrn Prof. E. Schmidt verdanke ich den folgenden Beweis der Sätze I und I′, der ausschließlich den Satz B (§ 2) und nicht den Satz A verwendet. Wenn wir den Satz B auf die sphärische. Kurve und den Kugelmittelpunkt als PunktP anwenden, besagt er, daß es ein Punktepaar oder ein Punktetripel von den im Text angegebenen Eigenschaften oder schließlich vier Punkte von der Art gibt, daß der Mittelpunkt dem von ihnen gebildeten Tetraeder angehört. In den beiden ersten Fällen schließen wir wie im Text. Im letzten Fall können wir jedenfalls annehmen, daß der Kugelmittelpunkt dem Innern des Tetraeders angehört, d. h. daß unter den vier Punkten weder zwei diametrale noch drei auf einem Großkreis liegende Vorkommen, denn sonst läge einer der ersten beiden Fälle vor. Die Kurve ist jedenfalls länger oder mindestens ebenso lang wie das kürzeste Großkreisviereck, das die vier Punkte zu Ecken hat. Wir haben uns davon zu überzeugen, daß dieses Viereck eine Länge>2 π besitzt. Die vier Punkte müssen so liegen, daß zwei von ihnen durch den Großkreis, der die beiden andern verbindet, getrennt werden, denn andernfalls würden die vier Punkte auf einer Halbkugel liegen, was unmöglich ist, da der Kugelmittelpunkt dem Innern des Tetraeders angehören soll. Die vier PunkteA, B, C, D seien in dieser Reihenfolge durch Vierecksseiten verbunden, und zwar durch die kürzeren GroßkreisbögenAB, BC, CD, DA, da wir das kürzeste Viereck zu betrachten haben. Der GroßkreisAB trennt die PunkteC undD. Die SeiteCD wird also von ihm geschnitten. Der Schnittpunkt seiE. Er kann nicht auf der SeiteAB liegen, denn sonst würde die eine von dem GroßkreisAC begrenzte Halbkugel alle vier Punkte enthalten,A,B undE liegen so, daß kein Halbkreis des GroßkreisesAB freibleibt, denn wäre dies der Fall, so würden wederE noch sein diametraler Punkt auf der SeiteAB liegen. Diese könnte also im Widerspruch mit dem obigen auch den durchE gehenden GroßkreisCD nicht schneiden. Es ist also die Summe der Längen der kürzesten GroßkreisbögenAB, BE, EA gleich 2π. Die Länge des Vierecks istAB+BC+CE+ED+DA. Nun ist aber wegen der Extremaleigenschaft der GroßkreisbögenBC+CE>BE undED+DA>EA. Also ist die Länge des Vierecks >2π, was zu beweisen war.
Bieberbach, Tchebychefsche Netze auf Flächen negativer Krümmung, Sitzungsber. d. Preuß. Akademie d. Wiss. 1926, S. 300. Die dort benutzte Schlußweise läßt sich ohne Schwierigkeit umkehren.
Die Parallelkurven entstehen dadurch, daß auf den geodätischen Normalen konstante Stücke abgetragen werden.
, S. 61. Man hatF=0,G=1 zu setzen.
Dies folgt auch direkt aus einer Formel von Liouville., S. 126, 4.
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Fenchel, W. Über Krümmung und Windung geschlossener Raumkurven. Math. Ann. 101, 238–252 (1929). https://doi.org/10.1007/BF01454836
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