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Ueber die Verbiegung der geschlossenen Flächen positiver Krümmung

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Literatur

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  • Eine Skizzirung des Beweises ist schon früher publicirt. (Nachrichten der Kgl. Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen. Math.-Phys. Classe, 1899, Heft 1.)

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  • Schönflies, Referat über Cantor'sche Mengenlehre (in der Math. Encyklopädie I, p. 185 ff., Nr. 11, Allgemeine Definitionen).

  • Schönflies, Referat über Cantor'sche Mengenlehre (in der Math. Encyklopädie I, a. a. 0. Nr. 2 (p. 186), wo auch die Cantor'schen Arbeiten genau citirt sind.

  • Man vergl. z. B. Genochi-Peano, Differential- und Integralrechnung, übersetzt von Bohlmann und Schepp (Leipzig 1898), p. 183 ff.

  • Vergl. Bianchi, a. a. 0., Differentialgeometrie, übersetzt von Lukat (Leipzig 1896 p. 287, Anmerkung: Man erhält die zu einer Drehung gehörige Verbiegungsfläche, indem man eine Orthogonalprojection des Ovaloides auf eine Ebene senkrecht zur Rotationsaxe vornimmt. Man erhält dann eine doppelt belegte Scheibe, deren Rand die Projection derjenigen Curve des Ovaloids ist wo die Tangentialebenen der Rotationsaxe parallel sind. Diese Scheibe ist noch um 90° zu drehen.

  • Der Satz, dass die Verbiegungsfläche einer Fläche positiver Krümmung selbst im allgemeinen negative Krümmung hat, ist schon bekannt. Vgl. Bianchi a. a. 0. Differentialgeometrie, übersetzt von Lukat (Leipzig 1896) p. 30.

  • Vgl. Bianchi, a. a. 0. Differentialgeometrie, übersetzt von Lukat (Leipzig 1896), p. 205.

  • Auf ganz anderem Wege ist, wie mir Herr Prof. Hilbert gütigst mitgetheilt hat, Herr Minkowski zu diesem Satz gelangt. Er leitet nämlich durch Grenzübergang aus seinen über convexe Polyeder aufgestellten Sätzen [Gött. Nachr. 1897, p. 198] den allgemeinen Satz ab: Ein Ovaloid ist vollkommen bestimmt, wenn man den zu jeder Normalrichtung gehörigen Werth des Krümmungsmasses kennt. Hieraus folgt dann von selbst der Satz, dass die Kugel das einzige Sphäroid ist.

  • Wir dürfen uns aber nicht verhehlen, dass der Beweis von H. A. Schwarz (Gessammelte Abhandlungen II, p. 327) für die Minimaleigenschaft viel allgemeiner ist. Des weiteren aber gilt wie oben die Bemerkung, dass man noch viel allgemeinere Voraussetzungen machen müsste. Hat doch Finsterwalder (a. a. 0., p. 79 ff.) gezeigt, dass schon ganz einfache Gleichgewichtsprobleme (die sich ja mit Variations problemen decken) auf Flächen ohne Tangentialebenen führen.

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Liebmann, H. Ueber die Verbiegung der geschlossenen Flächen positiver Krümmung. Math. Ann. 53, 81–112 (1900). https://doi.org/10.1007/BF01456030

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