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Literatur
S. Bernstein, a) Sur les recherches récentes relatives à la meilleure approximation des fonctions continues par des polynômes [Proceedings of the fifth international congress of mathematicians (Cambridge, 22–28 August 1912) Cambridge, 1913, Vol. I, S. 256–266], S. 264. [Mémoires publiés par la Classe des sciences de l'Académie Royale de Belgique, 4o, II. série, t.IV, 1912, 104 S.].
S. Bernstein, Sur l'ordre de la meilleure approximation des fonctions continues par des polynômes de degré donné. [Mémoires publiés par la Classe des sciences de l'Académie Royale de Belgique, 4o II. série, t.IV, 1912, 104 S.].
Ch. H. Müntz, Über den Approximationssatz von Weierstraß [Mathem. Abhandlungen H. A. Schwarz gewidmet. Berlin 1914, S. 303–312]. Daselbst auch Literaturnachweis, zu dessen Ergänzung noch auf eine Arbeit des Herrn L. Fejér: Über die Laplacesche Reihe [Math. Ann. 67 (1909), S. 76–109], S. 97–99, und auf die daselbst angeführten Stellen verwiesen sei. Man vgl. ferner: G. Faber, Über stets konvergente Interpolationsformiln [Jahresbericht der deutschen Mathematiker-Vereinigung XIX (1910), S 142–146], S. 143–144. — S. Bernstein, Démonstration du théorème de Weierstrass fondées sur le calcul des probabilités [Communications de la Société mathématique de Kharkow, 2e série, XIII (1912), S. 1–2].
Die Herren E. Schmidt und F. Riesz haben das allgemeinere Problem behandelt: gegeben sei eine unendliche Folge im Intervall (a, b) definierter reeller steitiger Funktionen ϕ1(x), ϕ2(x), ..., was sind die Bedingungen dafür, daß jede im Intervall (a, b) definierte stetige Funktion durch lineare Aggregate der ϕ v ., gleichmäßig approximiert werden kann? Man vgl. E. Schmidt, Entwicklung willkürlicher Funktionen nach Systemen vorgeschriebener [Math. Ann. 63 (1907), S. 433–476; Dissert. Göttingen (1905), 34 S.]. —F. Riesz, a) Sur une espèce de Géométrie analytique des systèmes de fonctions sommables [Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Acad. des Sciences, Paris, 144 (1907), S. 1409–1411]. b) Sur certaines systèmes singuliers d'équations intégrales [Annales scientifiques de l'École Normale supérieure, 3e Séries, T. 28 (1911), S. 33–62], S. 51–54.
A. Cauchy, Mémoire sur les fonctions alternées et sur les sommes alternées [Exercices d'analyse et de phys. math. II (1841), S. 151–159. (Euvres complètes 2e sér. XII, im Erscheinen)]. — Auszug mehrerer Schreiben des Dr. Rosenhain an Herrn Professor Jacobi über die hyperelliptischen Transzendenten [Journal für die reine und angewandte Mathematik 40 (1850), S. 319–360], S. 350–351. — F. Joachimsthal, Bemerkungen über den Sturmschen Satz [ebenda 48 (1854), S. 386–416], S. 414. —R. Baltzer, Theorie und Anwendung der Determinanten, vierte Aufl., Leipzig 1875, S. 92–94. — S. Günther, Lehrbuch der Determinantentheorie, zweite Aufl., Erlangen 1877, S. 111–112. —Th. Muir, The Theory of Determinants in the historical Order of Development, London, Vol. I second edition 1906, S. 342–345; Vol. II 1911, S. 171–172.
Für λ v =v-1 gaben hierfür schon Herr Lerch, Stieltjes, ferner die Herren Phragmén, Landau und Fejér Beweise. Man vgl. E. Landau, Über die Approximation einer stetigen Funktion durch ganze rationale Funktionen [Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, 25 (1908), S. 337–346], und die daselbst angeführte Literatur. — Fejér, a. a. O., S. 99. — Vgl. ferner: C. N. Moore, On Certain Constants Analogous to Fourier's Constants [Bulletin of the American Mathematical Society, vol. 14 (1908), S. 368–378; vol. 15 (1909), S. 116]. — Müntz, a. a. O., S. 304–305.
Im Falle\(p_v = \frac{1}{v}\) ist die Folge (1) sicher eine Basis. Anmerkung bei der Korrektur (24. März 1916): Der Beweis von (2) findet sich in seiner vor Kurzem erschienenen Arbeit: Approximation willkürlicher Funktionen durch Wurzeln [Archiv der Math. und Phys. III. R., 24. Bd. (1916), S. 310–316], währen der Beweis von 1) bisher meines Wissens nicht veröffentlicht ist.
—, A. a. O., S. 476.
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Szász, O. Über die Approximation stetiger Funktionen durch lineare Aggregate von Potenzen. Math. Ann. 77, 482–496 (1916). https://doi.org/10.1007/BF01456964
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DOI: https://doi.org/10.1007/BF01456964