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References
E. Hilb, Über Reihenentwicklungen nach den Eigenfunktionen linearer Differentialgleichungen 2. Ordnung. Math. Annalen71 (1912), S. 76–87.
C. Neumann, Theorie der Besselsohen Funktionen. Leipzig 1867.
O. Volk, Entwicklung der Funktionen einer komplexen Variablen nach den Funktionen des elliptischen Zylinders. Diss. München 1920.
Hierauf wurde ich von Herrn Prof. Dr. Hilb in Würzburg, dessen Ratschläge ich mich auch bei der Ausführung der Arbeit in reichem Maße erfreuen durfte, in gütiger Weise aufmerksam gemacht.
Für den Fall mehrfacher Wurzeln vgl. das Beispiel der Bessel-Funktionen, § 5.
Vgl. E. Hilb,l. c., S. 81.
Vgl. L. Schlesinger, Handbuch der Theorie der linearen Differentialgleichungen, Leipzig 1897, II,1, S. 408.
Vgl. J. Horn, Über eine lineare Differentialgleichung 2. Ordnung mit einem willkürlichen Parameter. Math. Ann.52 (1899), S. 271–291; Über lineare Differentialgleichungen mit einem veränderlichen Parameter. Math. Ann.52 (1899), S. 340 bin 362. O. Blumenthal, Über asymptotische Integration linearer Differentialgleichungen, mit Anwendung auf eine asymptotische Theorie der Kugelfunktionen. Arch. d. Math. u. Phys. (3)19 (1912), S. 136–174.
Dabei ist vorausgesetzt (was sich auch später zeigen wird), daß bei wachsendemn der reelle Teil von λ positiv ins Unendliche wächst; wäre letzteres nicht der Fall, so wäre β durch — β zu ersetzen.
l. c. S. 82f.
Diese Voraussetzung kann leicht durch andere Anfangsbedingungen ersetzt werden. (Vgl. z. B. E. Hilb, l. c., S. 82.)
Vgl. E. Hilb, l. c., S. 83ff., wo auch die wirkliche Existenz dieser und kiener anderen Eigenwerte (bei hinreichend großemn) bewiesen ist.
Vgl. E. Heine, Handbuch der Kugelfunktionen, 2. Aufl.;1 (1878), S. 174.
Vgl. l. c., S. 78.
Vgl. C. Neumann, Über die Entwicklung einer Funktion mit imaginärem Argument nach den Kugelfunktionen 1. und 2. Art. Halle 1862.
Wegen Bestimmung des inhomogenen Faktors auf der rechten Seite vgl. C. Neumann, Theorie der Besselschen Funktionen, 1867, S. 8 ff.
Vgl. l. c. Wegen Bestimmung des inhomogenen Faktors auf der rechten Seite vgl. C. Neumann, Theorie der Besselschen Funktionen, 1867, S. 33 ff.
Vgl. F. Lindemann, Über die Differentialgleichung der Funktionen des elliptischen Zylinders, Math. Annalen22 (1883), S. 117–123; vgl. auch H. Schubert, Über die Integration der Differentialgleichung 310-1, Diss. Königsberg 1886.
Vgl. J. Horn, l. c. (2. Abh.), S. 354 ff.; E. Lindsay, The elliptic cylinder functions of the second kind. Proc. of the Edinburgh math. soc.33 (1915), S. 2 ff.; G. N. Watson, The convergence of the series in Mathieu's functions, ebenda S. 25 ff.; S. Dhar, On the convergence of the solutions of the second kind of the Mathieu's equation. Bull. of the Calcutta math. soc.11. N. 4 (1919/20), S. 207 ff.; letztere Verfasser scheinen aber die viel früheren, umfassenderen Arbeiten von Heine, Lindemann, Horn, Blumenthal nicht zu kennen. Hierauf und auf einige damit zusammenhängende Fragen hoffe ich an anderer Stelle eingehen zu können
Vgl. meine Dissertation, S. 21 ff.
Vgl. meine Dissertation, S. 35.
l. c. Vgl. meine Dissertation, S. 36 ff.
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Herrn Geheimen Rat Professor Dr. F. von Lindemann zu seinem siebzigsten Geburtstage am 12. April 1922 gewidmet.
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Volk, O. Über die Entwicklung von Funktionen einer komplexen Veränderlichen nach Funktionen, die einer linearen Differentialgleichung zweiter Ordnung mit einem Parameter genügen. Math. Ann. 86, 296–316 (1922). https://doi.org/10.1007/BF01457991
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