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References
Vgl. Grundlagen § 8.
Vgl. die letzte Anmerkung zu § 1.
Vgl. § 7, Satz 12, Anmerkung.
Sie ist sogar „absolut-beschränkt” (vgl. Grundlagen § 5, 4. Bemerkung). In der Voranzeige in den Gött. Nachr. von 1907 war durchweg von absoluter Beschränktheit die Rede, und es wurde dafür unter Hinweis auf den Unterschied kurz der Name ”beschränkt” gebraucht. Die weitere Entwicklung der Theorie hat jedoch gezeigt, daß es zweckmäßiger ist, überall beschränkte, nicht absolut-beschränkte Formen zu betrachten.
Vgl. Grundlagen § 6.
Vgl. Grundlagen, Schluß von § 6.
Grundlagen § 7.
Der ganze Beweisgang ist dem allgemeinen Kriterium für das Vorhandensein einer beschränkten Reziproken (Die Jacobische Transformation der quadratischen Formen von unendlichvielen Veränderlichen, Nachr. der Kgl. Ges. der Wiss. zu Göttingen, math.-phys. Kl. 1907, S. 101–109) entnommen und nur gemäß den vorliegenden speziellen Verhältnissen vereinfacht.
Vgl. Grundlagen § 3, Korollar zum 1. Faltungssatz.
BeiL-Matrizen liegen bezüglich der Reziproken also nur die beiden der vier möglichen Fälle vor, die bei endlichen Matrizen vorkommen. Vgl. Grundlagen § 7, Ende.
Es ist darin die Lösung der Aufgabe enthalten, die reziproke Funktion 1/f(z) einer in Laurentscher Entwicklung gegebenen Funktionf(z) selbst nach Laurent zu entwickeln: die Auflösungsformel meiner Note über die Jacobische Transformation (Gött. Nachr. 1907) oder die von E. Schmidt (Pal. Rend. 1908) ergeben diese Anflösung in Verbindung mit Satz 4 des Textes.
Vgl. Grundlagen § 8.
wie Hellinger in seiner Dissertation (Göttingen 1907) S. 76–77 hinzufügt.
Dieser Satz findet sich explizit weder in den „Grundlagen” noch anderwärts ausgesprochen; er ist zuerst in meiner Arbeit „Die Jacobische Transformation...”, Gött. Nachr. 1907, enthalten, und die eine Hälfte von ihm („wenn das Spektrum positiv ist, ist die Form definit”) läßt sich wohl nicht einfacher beweisen als mittels der dort angegebenen, von E. Hellinger herrührenden Methode, die übrigens auch am Schluß des Beweises von Satz 4 der vorliegenden Arbeit (§ 1) auseinandergesetzt worden ist. Die andere Hälfte des Satzes („das Spektrum einer definiten Form ist positiv”) kann man durch einen Kunstgriff von E. Hilb sehr einfach beweisen, indem man sich der sog. Neumannschen Methode bedient. Ist nämlichC definit, so istC−λE für einen negativen Wert von λ nicht nur definit, sondern seine untere Grenze ist größer als |λ|, also >0, für alle Wertsystemex 1,x 2,..., deren Quadratsumme gleich 1 ist. Für eine solche Form beweist aber der Verf. (a. a. O. § 3) und Hilb (Ber. der phys.-med. Soc. in Erlangen, 40 (1908), S. 84; vgl. statt dessen etwa auch Fortschritte d. Math. 39, S. 407 f.), daß sie eine eindeutige beschränkte Reziproke besitzt, und folglich besitztC−λE eine solche für jedes negative λ, d. h. das Spektrum vonC ist positiv.
Der Fall, daß irgendwelche der Determinanten Δϰ verschwinden, ist dabei zunächst ausgeschlossen Der Satz bleibt jedoch auch in diesem Falle richtig, und es bedarf lediglichalgebraischer Betrachtungen, um die hier gegebene Herleitung auch auf diesen Fall mit auszudehnen. Andererseits folgt der Satz in der vollständigen Gestalt auch aus der Arbeit von Carathéodory (Math. Ann. 64) und den Untersuchungen, die Herr Carathéodory neuerdings an diese Arbeit angeknüpft hat und die er soeben in den Pal. Circ. Mat. Rend. veröffentlicht. Vgl. über diesen Zusammenhang die eben genannte Arbeit und die in Verbindung mit ihr erscheinende kurze Note des Verf. in den Pal. Circ. Mat. Rend.
Vgl. meine inzwischen erschienene Note „Zur Theorie der quadratischen Formen von unendlichvielen Veränderlichen”, Nachr. der Kgl. Ges. d. Wiss. zu Gött., math.-phys. Kl., 1910, §§ 4 und 5, insbesondere auch die Anmerkung zu Satz 11 daselbst.
Vgl. auch. Grundlagen § 8, Satz von der Invarianz des Spektrums.
Vgl. Grundlagen § 3.
Dieser Satz in Verbindung mit der Auflösungsformel meiner Note über die Jacobische Transformation (Gött. Nachr. 1907) oder derjenigen von E. Schmidt (Rend. di Pal. 1908) enthält die Lösung der Aufgabe, die inverse Funktion von ω(z) in eine Laurentreihe zu entwickeln. Auch kann man diese Methode auf Fourierreihen von monoton wachsenden und daher eindentig invertierbaren Funktionenf(ϕ) übetragen, indem manz=cosϕ+isinϕ, ω=cosf+isinf setzt.
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Die vorliegende Arbeit (mit Ausnahme von §§ 3–5) bildete bis auf geringfügige Abänderungen einen Teil meiner Habilitationsschrift, die Pfingsten 1907 der philos. Fakultät der Universität Göttingen vorgelegen hat, und deren Resultate vorher in der math. Gesellschaft zu Göttingen im Februar 1907 von mir vorgetragen und in den Nachr. der Kgl. Ges. der Wiss. zu Göttingen, math.-phys. Kl. 1907, S. 110–116 („Zur Transformation der Scharen bilinearer Formen von unendlichvielen Veränderlichen”) abgedruckt worden waren.
Die vorliegende Arbeit setztnicht die Kenntnis der neueren Arbeiten über die Theorie der unendlichvielen Veränderlichen (Hilberts Noten und die daran anschließenden Arbeiten) vorans, sondern sie benutztlediglich die §§1–4, 6, 7 der Arbeit von E. Hellinger und O. Toeplitz, Grundlagen für eine Theorie der unendlichen Matrizen, Math. Ann. 69, die hier zur Abkürzung als „Grundlagen” zitiert werden soll, und in der alles aus der Theorie der unendlichvielen Veränderlichen Nötige unabhängig und in elementarer Form entwickelt ist.-Die §§ 4 und 5 dagegen setzen keine besonderen Vorkenntnisse voraus und können für sich allein gelesen werden.
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Toeplitz, O. Zur Theorie der quadratischen und bilinearen Formen von unendlichvielen Veränderlichen. Math. Ann. 70, 351–376 (1911). https://doi.org/10.1007/BF01564502
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DOI: https://doi.org/10.1007/BF01564502