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Literatur
Einleitung in die allgemeine Kongruenzlehre, Math.-fys. Meddelelser, Kgl. Danske Videnskabernes Selskab 8, 11 und 10, 1, 1929. Die Begründung ist bisher nur für die „einfache Geometrie”, in der zwei Punkte eine Gerade bestimmen, durchgeführt. Wir betrachten ausschließlich diesen Fall.—Vgl. auch die frühere Arbeit von Hjelmslev: Neue Begründung der ebenen Geometrie, Math. Annalen64, (1907), S. 449–474, und die Darstellung bei F. Schur, Grundlagen der Geometrie, Leipzig 1909, § 7. In diesen Arbeiten werden jedoch noch Anordnungstatsachen und stärkere Kongruenzaxiome benutzt.
Das Problem dieser Arbeit ist von Herrn Professor Reidemeister gestellt und bereits von Herrn Podehl ein Stück weit verfolgt worden. Ich habe von Herrn Podehls Einführung der uneigentlichen Punkte und von seinen Vorarbeiten für die Einführung des kinematischen Raumes Gebrauch gemacht.
Hamburger Abhandlungen10 (1934), S. 231–255.
Aus dieser Forderung folgt, in Verbindung mit den übrigen Axiomen, daß zwei Geraden stets einen Schnittpunkt haben.
Rendiconti d. Sem. Mat. d. R. Università di Roma 13, 1934.
Dis von uns gegebene projektive Abschließung der absoluten Ebene ist daher unabhängig von der Entscheidung der von Hjelmslev nicht behandelten Frage, ob die Disjunktion: singulärer Fall—ordinärer Fall vollständig ist. Wir werden jedoch in der am Schluß der Einleitung angekündigten Arbeit zeigen, daß die Vollständigkeit dieser Disjunktion eine einfache Folgerung aus den Ergebnissen der vorliegenden Arbeit ist. Die Lücke, die die von Hjelmslev nicht beantwortete Frage in seinem Aufbau darstellt, läßt sich also jedenfalls auf diesem Wege über die Abschließung der Ebene schließen. [In der früheren Arbeit von Hjelmslev (s. Anm.1)), in der eine stärkere Beweglichkeit der Figuren in der Ebene vorausgesetzt wurde, war die genannte Disjunktion trivialerweise vollständig; s. d. Satz. 7.]
Der Beweisgang stimmt mit dem in der projektiven Geometrie für den Satz von den perspektiven Dreikanten üblichen (siehe z. B. F. Schur, Grundlagen der Geometrie, § 2) überein.
In diesem Beweis verweisen die in Klammern beigefügten Zahlen auf die bei den einzelnen Beweisschritten benutzten Inzidenzsätze des vorangehenden Paragraphen.
K. Reidemeister, Grundlagen der Geometrie. Berlin 1930, Kap. 4.
u. zw. aus dem sogenanntenkleinen Desarguesschen Satz mitg als Desarguesscher Geraden. Dieser Satz reicht bekanntlich aus, um die Addition projektiver Strecken einzuführen. Das 3-Gewebe dient hier nur dazu, die Translation in einem bestimmten Geradenbüschel (A-Geraden) auszuzeichnen.
a. a. O., S. 70.
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Bachmann, F. Eine Begründung der absoluten Geometrie in der Ebene. Math. Ann. 113, 424–451 (1937). https://doi.org/10.1007/BF01571645
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