References
Barner, M.,Zur Möbius-Geometrie: Die Inversionsgeometrie ebener Kurven. J. Reine Angew. Math.206 (1961), 192–220.
Barner, M. andFlohr, F.,Der Vierscheitelsatz und seine Verallgemeinerungen. Mathematikunterricht4 (1958), 43–73.
Berger, M.,Géométrie, vol. 2. Cedic, Nathan Paris, 1977.
Francis, G.,Spherical curves that bound immersed discs. Proc. Amer. Math. Soc.41 (1973), 87–93.
Graustein, W. C. Extensions of the four vertex theorem. Trans. Amer. Math. Soc.41 (1937), 9–23.
Haupt, O.,Zur Verallgemeinerung des Vierscheitelsatzes und seiner Umkehrung. Ann. Mat. Pura Appl.27 (1948), 293–320 and28 (1949), 345.
Haupt, O.,Streng-konvexe Bogen und Kurven in der direkten Infinitesimalgeometrie. Arch. Math.9 (1958), 110–116.
Heil, E.,Some vertex theorems proved by means of Möbius transformations. Ann. Mat. Pura Appl.85 (1970), 301–306.
Kauffman, L. H.,Planar surface immersions. Illinois J. Math.23 (1979), 648–665.
Kauffman, L. H. andBanchoff, T. F.,Immersions and mod-2 quadratic forms. Amer. Math. Monthly 84 (1977), 168–185.
Kneser, A.,Bermerkungen über die Anzahl der Extreme der Krümmung auf geschlossenen Kurven und über verwandte Fragen in einer nichteuklidischen Geometrie. Festschrift zum 70. Geburtstag von H. Weber 1912, 170–180.
Moise, E. E.,Geometric topology in dimensions 2 and 3. Springer, New York—Heidelberg, 1977.
Mukhopadhyaya, S.,Extended minimum-number theorems of cyclic and sextactic points on a plane convex oval. Math. 2,33 (1931), 648–662.
Osserman, R.,The four-or-more vertex theorem. Amer. Math. Monthly92 (1985), 332–337.
Thorbergsson, G.,Vierscheitelsatz auf Flächen nicht positiver Krümmung. Math. Z.149 (1976), 47–56.
Valette, G.,Quelques propriétés conformes globales des courbes planes. Acad. Roy. Belg. Bull. Cl. Sci. (5)43 (1957), 66–79.
Vogt, W.,Über monotongekrümmte Kurven. J. Reine Angew. Math.144 (1914), 239–248.
Author information
Authors and Affiliations
Additional information
Dedicated to Professor Otto Haupt with best wishes on his 100th birthday.
Rights and permissions
About this article
Cite this article
Pinkall, U. On the four-vertex theorem. Aeq. Math. 34, 221–230 (1987). https://doi.org/10.1007/BF01830673
Received:
Issue Date:
DOI: https://doi.org/10.1007/BF01830673