Mean Cesàro summability of Laguerre expansions and norm estimates with shifted parameter

Abstract

Получены оценки свер ху и снизу для разложе ний по собственным функция м дифференциального уравнения Лагерра в е го нормальной лиувил левой форме в пространствеL ^p(0, ∞). Этот тип разложений о тличается от обычных разложений Лагерра лучшими свой ствами и является естественн ым, например, в связи с обычными эрмитовыми разложен иями. Именно, это разложение эквив алентно некоторому р азложению по полиномам Лагерра$L_k^\alpha (x),k = = 0,1,2,...,$ п ространствах$\begin{array}{*{20}c} {L_{u(\gamma )}^p = \left\{ {f:\left\| {f(x)e^{{{ - x} \mathord{\left/ {\vphantom {{ - x} 2}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} 2}} x^{{{ - \gamma } \mathord{\left/ {\vphantom {{ - \gamma } 2}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} 2}} } \right\|_p< \infty } \right\},} & {1 \leqq p \leqq \infty } & {c\gamma = \alpha + \frac{1}{2} - \frac{1}{p}} \\ \end{array}$, в то время как известны е результаты Аскея и В ейнгера (1965) соответствуют подоб ному разложению в пространстве$L_{u(\alpha )}^p$. В час тности, доказано, что константы Лебега для разложения такого рода имеют пор ядокп ^1/6 вместоп ^1/2 для обычного разложения. Средние Чезаро также обладают лучшими сво йствами. Основой для э тих результатов являетс я формула Бёрсма для произведений в крити ческом случае а=−1/2. Пол учены также общие оценки но рм лагерровскях полиномов, что может б ыть полезным в других вопросах.