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References
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In diesen Fällen reduziert sich bekanntlich die Funktion ф auf einLaguerresches Polynom.
Man beweist, daß solange keine der Zahlena, c undc−a eine nicht positive ganze Zahl ist, die Funktion ф eine transzendente ganze Funktion von Rang und Geschlecht 1 ist.
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Die positiven Nullstellen derW-Funktion waren schon in einer Arbeit aus dem Jahr 1915 vonA. Milne (On the roots of the confluent hypergeometric function, Proc. Edinburgh Math. Soc.33, 48–64) abgezählt worden, wo die Resultate auch graphisch dargestellt sind.
Man beachte, daß die negative reelle Halbachse ein Schnitt der mehrdeutigen Funktion Ψ ist, während die positive Halbachse im allgemeinen eine Diskontinuitätslinie ihres Arguments darstellt.
Man vergesse nicht, daßc keine ganze Zahl ist!
Da 1−c>0 ist, ist der Falla>0, Γ(a) Γ(a−c+1)<0 offenbar unmöglich.
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HerrnOskar Perron zum 70. Geburtstag am 7. Mai 1950 gewidmet.
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Tricomi, F.G. Über die Abzählung der Nullstellen der konfluenten hypergeometrischen Funktionen. Math Z 52, 669–675 (1950). https://doi.org/10.1007/BF02230723
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DOI: https://doi.org/10.1007/BF02230723