A search program for finding optimal integration lattices

Abstract

In this paper we describe some of the salient features of our search program for finding good lattices. The reciprocals of these lattices are used in lattice integration rules, of which number theoretic rules form a major subset. We describe algorithms for ϱ(⋎), the Zaremba index (or figure of merit) of an integer lattice ⋎. We describe a search algorithm that finds ϱ(N), the maximum of ϱ(⋎) over lattices of orderN. One feature of our search is that it can exploit the symmetry of ϱ without significantly slowing down the program to list symmetric copies. We have also developed other interactions between the search algorithm and the algorithm for ϱ(⋎) that have a significant effect on the speed of the program. The paper is theoretical, providing the mathematical basis for these algorithms. However, we give a list of all the three-dimensional good lattices of order not exceedingN=4,000. This list has 68 entries, 40 of which are new.

Zusammenfassung

In der vorliegenden Arbeit beschreiben wir die entscheidenden Charakteristika unseres Suchprogramms zum Auffinden von “guten Gittern”. Die Inversen dieser Gitter werden für Gitterintegrationsformeln verwendet, die in der Mehrzahl zahlentheoretischen Ursprungs sind. Wir beschreiben Algorithmen zur Bestimmung des Zaremba-Index ϱ(⋎), der ein Qualitätsmaß für das ganzzahlige Gitter ⋎ darstellt. Unser Suchalgorithmus bestimmt ϱ(N), das Maximum von ϱ(⋎) über die Gitter der OrdnungN. Insbesondere kann unser Suchprogramm die Symmetrie von ϱ erkennen, ohne durch das Auflisten symmetrischer Exemplare nennenswert aufgehalten zu werden. Wir haben auch noch andere Rückkoppelungen zwischen dem Suchalgorithmus und dem Algorithmus für ϱ(⋎) entwickelt, die das Programm wesentlich beschleunigen. Die Arbeit zeigt die mathematischen Grundlagen für diese Algorithmen auf. Darüberhinaus listen wir alle 3-dimensionalen guten Gitter bis zur Ordnung 4000 auf; von den 68 Einträgen sind 40 neu.