Bernoulli functions and periodic B-splines

Abstract

Bernoulli polynomials and the related Bernoulli functions are of basic importance in theoretical numerical analysis. It was shown by Golomb and others that the periodic Bernoulli functions serve to construct periodic polynomial splines on uniform meshes. In an unknown paper Wegener investigated remainder formulas for polynomial Lagrange interpolation via Bernoulli functions. We will use Wegener's kernel function to construct periodicB-splines. For uniform meshes we will show that Locher's method of interpolation by translation is applicable to periodicB-splines. This yields an easy and stable algorithm for computing periodic polynomial interpolating splines of arbitrary degree on uniform meshes via discrete Fourier transform.

Zusammenfassung

Bernoulli-Polynome und die zugehörigen Bernoulli-Funktionen sind von grundlegender Bedeutung für theoretische Untersuchungen in der numerischen Mathematik. M. Golomb und andere verwendeten die Bernoulli-Funktionen bei der Konstruktion periodischer Splines. In einer unbekannten Arbeit untersuchte U. Wegener Restglieddarstellungen für die Lagrange-Interpolation mittels Bernoulli-Funktionen. Wir verwendeten die Kernfunktion von Wegener zur Konstruktion von periodischenB-Splines. Für äquidistante Knoten zeigen wir, daß die Methode der Interpolation mittels Translation von Locher anwendbar ist auf periodischeB-Splines. Dieser Zusammenhang liefert einen einfachen und stabilen Algorithmus zur Berechnung periodischer Interpolationssplines mittels der diskreten Fourier-Transformation.