Sunto.
Si studia l'equazione lineare
(con\(\overline \omega ^2< \omega ^2 m\)) di tipo ellittico nel cerchio\(C_1 (u^2 + v^2< \overline \omega ^2 )\), iperbolico nella corona circolare\(C_{1,2} (\overline \omega ^2< u^2 + v^2< \overline \omega ^2 m)\), parabolico sulle circonferenze\(\Gamma _1 (u^2 + v^2 = \overline \omega ^2 )\), Γ2(u 2+v 2=ω 2 m). Si dimostra che le soluzioni della(A) inC i +Γ i +C i,2 sono determinate univocamente dai valori assunti sulla circonferenzaΓ i la quale à completamente interna al dominio in cui le soluzioni stesse vengono determinate. Si fa astrazione, naturalmenle, dall'analiticità dei dati e delle soluzioni.
La(A) è un'equazione che interviene nella dinamica dei gas.
Il metodo tenuto per la(A) viene poi applicato ad un'altra equazione di tipo misto.
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Literatur
Cfr.M. Gevrey,Sur la nature analytique des solutions des équations aux dérivées partielles, Ier Mêm., « Ann. Ec. Norm. », (3), 35, (1918), pp. 129–180; p. 186.
Cfr.Maria Cibrario (Cinquini), Sull'analiticità degli iSull'analiticità degli integrali di alcune equazioni del primo tipo misto, qs. « Annali », (4), 19, (1940), pp. 52–79;Intorno ad una equazione lineare alle derivate parziali del secondo ordine di tipo misto iperbolico ellittico, « Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa », (2), 3, (1934), pp. 255–286; ved. anche « Rend. Lincei », (6), 19, (1934), pp. 615–619.
Cfr. ad es.G. Loria,Curve piane speciali, vol. IIo, (Milano, 1930), p. 110; oppureR. Courant —K. O. Friedrichs,Supersonic flow and shock waves, (New York, 1948) pp. 259–266.
Cfr. ad es.J. Hadamard,Le problème de Cauchy et les équations aux dérivées partielles linéaires hyperboliques, (Paris, 1932), p. 41 e segg. Siaf(x) una funzione dotata di derivatar-ma in un certo intervallo (a, b); si dice intorno dell'ordiner dif l'insieme di tutte le funzioniF(x) dotate in (a, b) di derivatar-ma, tali che ciasuna delle differenze |f−F|, |f′−F′|, |f″−F″|,..., |f (r) −F (r)| risulti in (a, b) minore di un δ>0 assegnato.
Di tale Memoria esiste una traduzione inglese diM. H. Slud, dat titoloOn Gas Jets, presso la Brown University di Providence, R. I., (1944); a questa ci riferiamo nel seguito.
R. Conti,Sul problema di Cauchy per l'equazione y2xk2(x, y)zxx−zyy=f(x, y, z, zx, zy), con i dati sulla linea parabolica, qs. « Annali », (4), 31, (1950), pp. 303–326.
Teorema diHarnack-Weierstrass (Cfr. ad es.G. Giraud,Equazioni alle derivate parziali dei tipi ellittico e parabolico, p. 62, nel volume omonimo diG. Ascoli, P. Burgatti, G. Giraud, (Firenze, 1936).
L'unicità segue pure da noti risultati sulle equazioni lineari di tipo ellittico; Cfr. ad es.R. Courant —D. Hilbert,Methoden der mathematischen Physik, Vol. 2o, (Berlin, 1937), p. 275.
Cfr. ad es.L. Tonelli,Serie trigonometriche, (Bologna, 1938), p. 302; oppureG. Sansone,Sviluppi in serie di funzioni ortogonali, 2a ed., (Bologna, 1946), p. 113.
Cfr.L. Tonelli, op. cit., p. 225; oppureG. Sansone, op. cit., p. 62. Vale il teorema: Sef(ϑ) ammette in (0, 2π) derivatar-ma soddisfacente una condizione diLipschitz di ordineα esiste una costante assolutaL tale che |α v |, |b v |<Lv−r−α.
Cfr.R. Conti, lav. cit., enunciati A), B), D) a pag. 305 e nota a piè di pag. 324. Per affermare quanto sopra basterebbero in realtà ipotesi più larghe, ma ciò non ha importanza per i nostri scopi.
Lav. cit. per ultimo. enunciati C), D) a pag. 305.
Cfr.H. Bateman,Partial differential equations of mathematical Physics, (Cambridge, 1932), p. 419.
Cfr.G. N. Watson,Theory of Bessel functions, (Cambridge, 1922), p. 260.
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Conti, R. Determinazione in grande delle soluzioni di un'equazione di tipo misto della dinamica dei gas in funzione dei valori assunti sulla linea parabolica. Annali di Matematica 32, 235–248 (1951). https://doi.org/10.1007/BF02417960
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DOI: https://doi.org/10.1007/BF02417960