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Literatur
E. Moecklin, Asymptotische Entwicklungen der Laguerreschen Polynome, Comment. Math. Helv. 7, 1934-35, p. 24–46.
G. Szegö, Orthogonal Polynomials, New York 1939; Amer. Math. Soc. Colloquium publ. no 23, p. 192 e seg.
F. Tricomi, Generalizzazione di una formula asintotica sui polinomi di Laguerre e sue applicazioni, Atti R. Acc. Scienze Torino 76 1940-41, p. 288–316.
F. Tricomi, Sviluppo dei polinomi di Laguerre e di Hermite in serie di funzioni di Bessel, Giorn. Ist. Ital. Attuari 12, 1941, p. 14–33.
F. Tricomi, Sulle funzioni ipergeometriche confluenti, Annali di Matematica (4) 26, 1947-48, p. 141–175.
F. Tricomi, Suglizeri delle funzionidicuisi conosceuna rappresentazione asintotica, Annali di Matematica. (4) 26, 1947-48, p. 283–300.
Ad esempio nel caso α=0,n=10, r=1 la (1) fornisce λ (0)10,1 =0,13779 mentre il valore esatto è 0,13781. Dianzi si conosceva soltanto, se non m’inganno, la formula\(\lambda _{n,r}^{(\alpha )} = \frac{{j_{\alpha ,r}^2 }}{{4n}} + O(n^{ - 2} ).\) (Szegö op. cit. p. 123–124,Tricomi, op. cit.3), p. 305.)
E’ probabile che il Moecklin sarebbe giunto a risultati più semplici se avesse sviluppato intorno all’ascissax=v=4n+2 invece che intorno adx=4n. Ma nel caso α=0 ciò si presentava ben poco spontaneo! Colgo l’occasione per avvertire che i valori esplicitamente dati dal Moecklin per i coefficienti da lui indicati cona 21 ea 22 non sono esatti: devono moltiplicarsi per l’unità immaginariai.
Lei r sono legate agli zeris r della funzioneJ −1/3 (x)+J 1/3 (x), di cui è data una tabella a p. 751 delleBessel Functions diG. N. Watson, dalla relazione 2(i r/3)3/2=sr che implica\(\sqrt[3]{{\frac{4}{3}}}i_r = (3s_r )^{\frac{2}{3}} .\)
V. E. Spencer, Asymptotic expressions for the zeros of generalized Laguerre polynomials and weber functions, Duke Math. Journ. 3, 1937, p. 667–675. La formula analoga alla (5) dello Spencer (la (42), alla fine del lavoro) va corretta nel senso che in luogo di4n+2a deve essere scrittov, cioè4n+2a+2; il che non è privo d’importanza perchè il primo termine di essa si altera della quantità finita 2, mentre la formula finisce, come la nostra (5), conO(n −1).
G. Fubini, Studi asintotici per alcune equazioni differenziali, Rend. Acc. Lincei (6) 26, 1937, p. 253–259.
Per esempio nel mio recente libro: Equazioni differenziali (Torino, Einaudi, 1948) che contiene un’appendice esplicitamente dedicata a detto metodo. Esso comprende in se come caso particolare il metodo “di Liouville-Steckloff” ripetutamente usato daG. Szegö nell’ opera cit. Orthogonal Polynomials, New York 1939; Amer. Math. Soc. Colloquium publ. no 23, p. 192 e seg.2).
La quantitàv=2c-4a coincide col quadruplo del primo dei due parametrik edm introdotti dalWhittaker nello studio delle funzioni ipergeometriche confluenti.
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Tricomi, F. Sul comportamento asintotico dell’n-esimo polinomio di Laguerre nell’ intorno dell’ascissa 4n . Commentarii Mathematici Helvetici 22, 150–167 (1949). https://doi.org/10.1007/BF02568054
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DOI: https://doi.org/10.1007/BF02568054