Skip to main content
Log in

Relation algebras and function semigroups

  • Survey Articles
  • Published:
Semigroup Forum Aims and scope Submit manuscript

Abstract

The concept of relation algebra unifies many familiar notions from algebra (especially those of systems having “natural” models as groups, Boolean algebras etc.). The fundamental theorem on relation algebras asserts the existence of simple conditions which characterize any given class of relation algebras.

The idea of relation algebra is very useful for the study of function and transformation semigroups, which is the central part of the theory of semigroups. It provides a general outlook, permits one to formulate many natural problems, and ensures that these problems possess non-trivial solutions. A number of examples illustrate this point.

This is a preview of subscription content, log in via an institution to check access.

Access this article

Price excludes VAT (USA)
Tax calculation will be finalised during checkout.

Instant access to the full article PDF.

Institutional subscriptions

Similar content being viewed by others

References

  1. Birkhoff, G.: On the combination of subalgebras. Proc. Cambridge Philos. Soc.29, 441–464 (1933).

    Article  MATH  Google Scholar 

  2. Chin, L., and A. Tarski: Remarks on projective algebras. Bull. Amer. Math. Soc.54, 80–81 (1948).

    Google Scholar 

  3. Church, A.: Introduction to mathematical logic, Princeton, Princeton University Press, 1956.

    MATH  Google Scholar 

  4. Clifford, A. H., and G. B. Preston: The algebraic theory of semigroups. 2nd vol. Providence, Amer. Math. Soc. 1967.

    MATH  Google Scholar 

  5. Dubreil, P.: Contributions à la théorie des demigroupes Mém. Acad. Sci. Inst. France63, 1–52 (1941).

    MathSciNet  Google Scholar 

  6. Dubreil-Jacotin, M.-L., and R. Croisot: Equivalences régulières dans un ensemble ordonné. Bull. Soc. Math. France80, 11–35 (1952).

    MATH  MathSciNet  Google Scholar 

  7. Everett, C. J., and S. Ulam: Projective algebra, I. Amer. J. Math.68, 77–88 (1946).

    Article  MATH  MathSciNet  Google Scholar 

  8. Frayne, T., A. C. Morel, and D. Scott: Reduced direct products. Fund. Math.51, 195–228 (1962).

    MathSciNet  Google Scholar 

  9. Frink, O.: Complemented modular lattices and projective planes of infinite dimension. Trans. Amer. Math. Soc.60, 452–467 (1946).

    Article  MATH  MathSciNet  Google Scholar 

  10. Grätzer, G.: Universal algebra. London, Van Nostrand, 1968.

    MATH  Google Scholar 

  11. Grillet, P.-A.: Sur la notion de tas. C. R. Acad. Sci. Paris256, 2739–2741 (1963).

    MATH  MathSciNet  Google Scholar 

  12. Grillet, P.-A.: Homomorphismes principaux de tas et de groupoides. Bull. Soc. Math. France, mém. 3, 167 pp., 1965.

  13. Henkin, L.: Cylindrical algebras of dimension 2. Bull. Amer. Math. Soc.63, 26 (1957).

    Article  MathSciNet  Google Scholar 

  14. Henkin, L., and A. Tarski: Cylindric algebras. Lattice Theory. Proc. Symp. Pure Math., vol. 11, Providence, Amer. Math. Soc. 1961, 83–112.

    Google Scholar 

  15. Jónsson, B.: Modular lattices and Desargues’ theorem. Math. Scand.2, 295–314 (1954).

    MATH  MathSciNet  Google Scholar 

  16. Jónsson, B.: Representation of modular lattices and of relation algebras. Trans. Amer. Math. Soc.92, 449–464 (1959).

    Article  MATH  MathSciNet  Google Scholar 

  17. Jónsson, B., and A. Tarski: Representation problems for relation algebras (abstract). Bull. Amer. Math. Soc.54, 80 (1948).

    Google Scholar 

  18. Jónsson, B., and A. Tarski: Boolean algebras with operators I. Amer. J. Math.73, 891–939 (1951).

    Article  MATH  MathSciNet  Google Scholar 

  19. Jónsson, B., and A. Tarski: Boolean algebras with operators II. Amer. J. Math.74, 127–162 (1952).

    Article  MATH  MathSciNet  Google Scholar 

  20. Lambek, J.: The immersibility of a semigroup into a group. Canad. J. Math.3, 34–43 (1951).

    MATH  MathSciNet  Google Scholar 

  21. Łoś, J.: On the extending of models I. Fund. Math.42, 38–54 (1955).

    MathSciNet  MATH  Google Scholar 

  22. Lyndon, R. C.: The representation of relational algebras. Ann. Math.51, 707–729 (1950).

    Article  MathSciNet  Google Scholar 

  23. Lyndon, R. C.: The representation of relational algebras II. Ann. Math.63, 294–307 (1956).

    Article  MathSciNet  Google Scholar 

  24. Lyndon, R. C.: Notes on logic. Princeton, Van Nostrand, 1966.

    MATH  Google Scholar 

  25. McKinsey, J. C. C.: On the representation of projective algebras. Amer. J. Math.70, 375–384 (1948).

    Article  MATH  MathSciNet  Google Scholar 

  26. McKinsey, J. C. C., and A. Tarski: The algebra of topology. Ann. Math.45, 141–191 (1944).

    Article  MathSciNet  Google Scholar 

  27. McKinsey, J. C. C., and A. Tarski: On closed elements in closure algebras. Ann. Math.47, 122–162 (1946).

    Article  MathSciNet  Google Scholar 

  28. Мальцев, А. И. (A. I. Malcev): О включении ассоциативных систем в группы. Матем. сб. 6, 331–336 (1939). (MR2, 7).

    Google Scholar 

  29. Мальцев, А. И.: О включении ассоциативных систем в группы II. Матем. сб. 8, 251–264 (1940), (MR2, 128).

    Google Scholar 

  30. Monk, D.: Model-theoretic methods in the theory of cylindric algebras. The theory of models. Proc. 1963 Int. Sympos. at Berkeley, Amsterdam: North-Holland, 1965, 238–250.

    Google Scholar 

  31. Monk, J. D.: Non-finitizability of classes of representable cylindric algebras (in press).

  32. Petrich, M.: Homomorphisms of a semigroup onto normal bands. Acta sci. math. Szeged27, 185–196 (1966).

    MATH  MathSciNet  Google Scholar 

  33. Rabin, M. O.: Universal groups of automorphisms of models. The theory of models. Proc. 1963 Int. Sympos. at Berkeley, Amsterdam: North-Holland, 1965, 274–284.

    Google Scholar 

  34. Riguet, J.: Relations binaires, fermetures, correspondances de Galois. Bull. Soc. Math. France76, 114–155 (1948).

    MATH  MathSciNet  Google Scholar 

  35. Салий, В. Н. (V. N. Saliî): Проекционные полугруппы. Изв. высш. учебн. завед., Матем. №3 (52), 144–149 (1966), (MR33, #7444)

    Google Scholar 

  36. Салий, В. Н.: Система аксиом для трансформативных полугрупп. Волжск. матем. сб. вып. 5, 342–345 (1966). (MR36, #2729).

    Google Scholar 

  37. Салий, В. Н.: Трансформативные полугруппы (G, o, σ, x1, x2). Доклады АН СССР 179, 30–33 (1968).

    Google Scholar 

  38. Салий, В. Н.: Релятивизированные полугруппы преобразований, содержаЩие первое проекционное отношение χ4. Изв. высш. учебн. завед., Матем. №8 (87), 89–103 (1969).

    Google Scholar 

  39. Шайн, Б. М. (B. M. Schein): Система аксиом для полугрупп, вместимых в обобЩённые группы. Доклады АН СССР 134, 1030–1033 (1960). (MR25 #5116).

    Google Scholar 

  40. Шайн, Б. М.: ВмеЩение полугрупп в обобЩённые группы. Матем. сб. 55, 379–400 (1961), (MR25, #3104).

    Google Scholar 

  41. Шайн, Б. М.: Абстрактная теория полугрупп взаимно однозначных преобразований. Кандидатская диссертация. Саратов, 1962.

  42. Шайн, Б. М.: Представление упорядоченных погугрупп. Успехи матем. Н. 17, 200–201 (1962).

    Google Scholar 

  43. Шайн, Б. М.: К теории рестриктивных полугрупп. Изв. высш. учебн. завед., Матем. №2 (33), 152–154 (1963).

    Google Scholar 

  44. Шайн, Б. М.: К теории обобЩенных групп. Доклады АН СССР 153, 296–299 (1963). (MR30, #1200).

    Google Scholar 

  45. Шайн, Б. М.: К теории полугрупп преобразований. Труды молодых ученых, вып. матем. Саратов: Изд-во Саратов. ун-та, 1964, 120–122. (MR36, #3904).

    Google Scholar 

  46. Шайн, Б. М.: Инволютированные полугруппы полных бинарных отношений. Доклапы АН СССР 156, 1300–1303 (1964). (MR29, #1278).

    Google Scholar 

  47. Шайн, Б. М.: Представление упорядоченных погугрупп. Матем. сб. 65, 188–197 (1964). (MR30, #2093).

    Google Scholar 

  48. Шайн, Б.М.: Рестриктивные биполугруппы. Иэв. Высз. учебн. эавед., Матем. NoI (44), 168–179 (1965). (MR30, #4847).

    Google Scholar 

  49. Schein, B. M.: Relation algebras. Bull. Acad. Polon. Sci. Ser. Sci. Math., astr. et phys.13, 1–5 (1965).

    MATH  MathSciNet  Google Scholar 

  50. Шайн, Б.М.: О некоторых классах полугрупп бинарных отношений. Сибирск. матем. ж. 6, 616–635 (1965). (MR33, #1391).

    Google Scholar 

  51. Шайн, Б.М.: Атомные полугруды и инволюти-рованные полугруппы. Иэв. высш. учебн. эавед., Матем. No3 (46), 172–184 (1965). (MR32, #5763).

    Google Scholar 

  52. Шайн, Б.М.: О некоторых комитантах полугрупп бинарных отношений. Матем. записки 5, 73–91 (1965). (MR35, #2810).

    Google Scholar 

  53. шайн, Б.М.: Представление трансформативных полугрупп. Реэюме сообщ. и докл. 7 Всесоюэн. Коллокв. по общ. алгебре, Кишинев, 1965, 110–111.

  54. Шайн, Б.М.: Алгебры отношений. Докторская диссертация. Capatob, 1965.

  55. Шайн, Б.М.: Полугруппы прямоуголвных гинарных отношений. Доклады AH CCCP 165, 1011–1014 (1965). (MR32, #5762).

    Google Scholar 

  56. Шайн, Б.М.: Алгебры отношений. Доклады Мезвуэовск. научн. симпоэ. по общ. алгебре, Tapty, 1966, 130–168. (MR34, #2753)

  57. Шайн, Б.М.: Теория полугрупп как теория суперпозпций многоместных функций. Доклады Межвузовск. научн. симпоз. по общ. алгебре. Тарту, 1966, 169–190. (MR34, #2741).

  58. Шайн, Б.М.: Трансформативные полугруппы преобразований. Матем. сб. 71, 65–82 (1966). Amer. Math. Soc. Translations (2)76, 1–19 (1969).

    Google Scholar 

  59. Шайн, Б.М.: Рестриктивные биполугруппы отображений. Изв. высш. учебн. завед., Матем. № 1 (56), 115–121 (1967). (MR35, #1690).

    Google Scholar 

  60. Шайн, Б.М.: Дифференцируемое многообразие характеризуется рестриктивной биполугруппой своих координатных систем. Тезисы докладов З Прибалт. геометр. Паланга, 1968, 171–172.

  61. Шайн, Б.М.: Рестриктивно-мультипликативные полугруппы. Резюме научн. сообщ. 9 Всесоюзн. алгебр. коллокв. Гомель, 1968, 203–210.

  62. Шайн, Б.М.: Реферат работы 66. РЖМат, 1967, 12A 177.

  63. Шайн, Б.М.: Рестриктивные биполугруппы квазиоднозначных бинарных отношений. Изв. высш. учебн. завед., Матем. № 5 (84) (1969), 73–84.

    Google Scholar 

  64. Шайн, Б.М.: Проекционные разбиения полугрупп. Резюме докл. 10 Всесоюузн. алгебр. коллокв. Новосибирск, 1, 97–98 (1969).

    Google Scholar 

  65. Шайн, Б.М.: Представление полугрупп. Доклады Всесоюзн. межвузовск. симпоз. по теор. полугрупп. Свердловск, 1969, 79–89.

  66. Schein, B. M.: On some problems in the theory of partial automata. Kybernetika (Czechoslovakia)5, 44–49 (1969).

    MathSciNet  MATH  Google Scholar 

  67. Шайн, Б.М.: Стационарные подмножества и стабилизаторы в полугруппах. Матем. сб. 80 (1969).

  68. Шайн, Б.М.: Рестриктивно-мультипликативные алгебры преобразований. Изв. высш. учебы. завед., Матем.

  69. Schein, B.M.: Linearly fundamentally orderable semigroups. Colloq. Math. (submitted).

  70. Шайн, Б.М. и В.С. Гарвацкий (V. S. Garvackiî): Инъективные и сюръективные морфизмы в абстрактных категориях. Coll. Math. (submitted).

  71. Schweizer, B., and A. Sklar: The algebra of functions. Math. Ann.139, 366–382 (1960).

    Article  MATH  MathSciNet  Google Scholar 

  72. Schweizer, B., and A. Sklar: The algebra of functions II. Math. Ann.143, 440–447 (1961).

    Article  MATH  MathSciNet  Google Scholar 

  73. Schweizer, B., and A. Sklar: The algebra of functions III. Math. Ann.161, 171–196 (1965).

    Article  MATH  MathSciNet  Google Scholar 

  74. Schweizer, B., and A. Sklar: Function systems. Math Ann.172, 1–16 (1967).

    Article  MATH  MathSciNet  Google Scholar 

  75. Сушкевич, А.К. (A. K. Suschkewitsch): Теория действия, как общая теория групп. Диссертация. Воронеж, 1922.

  76. Сушкевич, А.К.: Über die Darstellung der eindeutig nicht umkehrbaren Gruppen mittels der verallgemeinerten Substitutionen. Матем. сб. 33, 371–374 (1926).

    Google Scholar 

  77. Сушкевич, А.К.: Теория обобщенных групп. Харъков. Гос. научно-техн. изд-во Украины 1937.

  78. Sonner, J.: On the formal definition of categories. Math. Z.80, 163–176 (1962).

    Article  MATH  MathSciNet  Google Scholar 

  79. Stone, M. H.: The theory of representations for Boolean algebras. Trans. Amer. Math. Soc.40, 37–111 (1936).

    Article  MATH  MathSciNet  Google Scholar 

  80. Tarski, A.: On the calculus of relations. J. Symb. Logic6, 73–89 (1941).

    Article  MATH  MathSciNet  Google Scholar 

  81. Tarski, A.: Contributions to the theory of models II. Proc. Koninkl. Nederl. Akad. Wetensch.A57, 582–588 (1954).

    MathSciNet  Google Scholar 

  82. Tarski, A.: Contributions to the theory of models III. Proc. Koninkl. Nederl. Akad. Wetensch.A58, 56–64 (1955).

    MathSciNet  Google Scholar 

  83. Thierrin, G.: Contribution à la théorie des anneaux et des demi-groupes. Comment. Math. Helv.32, 93–112 (1957).

    Article  MATH  MathSciNet  Google Scholar 

  84. Вагнер, В.В. (V. V. Vagner): Представленпе упорядоченных полугрупп. Матем. сб. 38, 203–240 (1956). Amer. Math. Soc. Translations (2)36, 295–336 (1964).

    Google Scholar 

  85. Вагнер, В.В.: Трансформативные полугруппы. Изв. высш. учебн. завед., Матем. № 4 (17), 36–48 (1960). Amer. Math. Soc. Translations (2) 36, 337–350 (1964).

    Google Scholar 

  86. Вагнер, В.В.: Рестриктивные полугруппы. Изв. высш. учебн. завед., Матем. № 6 (31), 19–27 (1962).

    Google Scholar 

  87. Whitlock, H.: A composition algebra for multiplace functions. Math. Ann.157, 167–178 (1964).

    Article  MATH  MathSciNet  Google Scholar 

  88. Зарецкий, К.А. (K. A. Zareckiî): Представление упорядоченных полугрупп бинарными отношениями. Изв. высш. учебн. завед., Матем. № 6 (13), 48–50 (1959).

    Google Scholar 

  89. Зарецкий, К.А.: Абстракная характеристика класса полугрупп частично рефлексивных бинарных отношений. Сибирск. матем. ж. 8, 1299–1306 (1967). (MR36, #1568).

    Google Scholar 

  90. Kochen, S.: Ultraproducts in the theory of models. Annals of Math.74, 221–261 (1961).

    Article  MathSciNet  Google Scholar 

Download references

Author information

Authors and Affiliations

Authors

Rights and permissions

Reprints and permissions

About this article

Cite this article

Schein, B.M. Relation algebras and function semigroups. Semigroup Forum 1, 1–62 (1970). https://doi.org/10.1007/BF02573019

Download citation

  • Received:

  • Issue Date:

  • DOI: https://doi.org/10.1007/BF02573019

Keywords

Navigation