Sul grado di precisione di formule di quadratura del tipo di tchebycheff

Sommario

In questo lavoro si studiano le due formule di quadratura

$$\int\limits_{ - 1}^1 {(1 - x^2 )^{\lambda - 1/2} f(x)dx = C_n^{ (\lambda )} \sum\limits_{i = 1}^n f (x_{n,i} ) + R_n \left[ f \right]} ,$$

((1))

$$\int\limits_{ - 1}^1 {(1 - x^2 )^{\lambda - 1/2} f(x)dx = A_n^{ (\lambda )} \left[ {f\left( { - 1} \right) + f\left( 1 \right)} \right] + K_n^{ (\lambda )} \sum\limits_{i = 1}^n f (\bar x_{n,i} ) + \bar R_n \left[ f \right]} ,$$

((2))

con 0<λ<1, e si stabiliscono disuguaglianze per il loro gradoN di precisione polinomiale.

I risultati consentono di ritrovare che, nel caso λ=1/2, la (1), conN=n+1 sen è pari eN=n sen è dispari, non esiste pern=8 e pern≥10. La (2), per lo stesso valore λ=1/2 e conN=n+3 sen è pari eN=n+2 sen è dispari, non esiste invece pern≥12.

Si ottengono pure alcune nuove disuguaglianze, di per sé interessanti, relative al primo zero del polinomio ultrasfericoP _n ^(λ) (x) ed alla corrispondente costante di Christoffel.

Abstract

In this paper we study quadrature formulas of the types

$$\int\limits_{ - 1}^1 {(1 - x^2 )^{\lambda - 1/2} f(x)dx = C_n^{ (\lambda )} \sum\limits_{i = 1}^n f (x_{n,i} ) + R_n \left[ f \right]} ,$$

((1))

$$\int\limits_{ - 1}^1 {(1 - x^2 )^{\lambda - 1/2} f(x)dx = A_n^{ (\lambda )} \left[ {f\left( { - 1} \right) + f\left( 1 \right)} \right] + K_n^{ (\lambda )} \sum\limits_{i = 1}^n f (\bar x_{n,i} ) + \bar R_n \left[ f \right]} ,$$

((2))

with 0<λ<1, and we obtain inequalities for the degreeN of their polynomial exactness.

By using such inequalities, the non-existence of (1), with λ=1/2,N=n+1 ifn is even andN=n ifn is odd, is directly proved forn=8 andn≥10. For the same value λ=1/2 andN=n+3 ifn is evenN=n+2 ifn is odd, the formula (2) does not exist forn≥12.

Some intermediary results regarding the first zero and the corresponding Christoffel number of ultraspherical polynomialP _n ^(λ) (x) are also obtained.