Relèvement global d'extensions locales: quelques problèmes de plongement

Résumé.

Soit L/K une extension galoisienne finie de corps p-adiques, et soit F un corps de nombres totalement réel, dont le complété en une place v est isomorphe à {\it K}. Si p est impair, nous montrons qu'il existe une extension galoisienne finie E de F, totalement réelle, de même degré que L sur K, et dont le complété en v est isomorphe àL ; quand p vaut 2, nous prouvons une version affaiblie. Ces résultats interviennent dans une preuve des conjectures de Langlands pour $\GL_n$ sur les corps p-adiques.

Abstract.

Let L/K be a finite Galois extension of {\it p}-adic fields, and let F be a totally real number field, with a place v where the completion F_v is isomorphic to K. When p is odd, we show that there exists a totally real finite Galois extension E of F, of same degree over F as L over K, and with its completion $E_v$ isomorphic to L; when p=2, we have a weaker result. All this plays a rôle in a proof of the Langlands conjectures for $\GL_n$ over p-adic fields.