Skip to main content
SpringerLink
Log in

Invariants de classes : exemples de non-annulation en dimension supérieure

  • Published:
Mathematische Annalen Aims and scope Submit manuscript

Résumé

Le class-invariant homomorphism permet de mesurer la structure galoisienne des torseurs—sous un schéma en groupes fini et plat G—qui sont dans l’image du cobord associé à une isogénie, de noyau G, entre des (modèles de Néron de) variétés abéliennes. Quand les variétés sont des courbes elliptiques à réduction semi-stable et que l’ordre de G est premier à 6, on sait que cet homomorphisme s’annule sur les points de torsion. Dans cet article, en nous servant de restrictions de Weil de courbes elliptiques, nous construisons, pour tout nombre premier p > 2, une variété abélienne A de dimension p munie d’une isogénie (de noyau μ p ) dont le cobord est surjectif. Si A est de rang nul, et si la p-partie du groupe de Picard de la base est non triviale, nous obtenons ainsi un exemple où le class-invariant homomorphism ne s’annule pas sur les points de torsion.

Abstract

The so-called class-invariant homomorphism ψ measures the Galois module structure of torsors—under a finite flat group scheme G—which lie in the image of a coboundary map associated to an isogeny between (Néron models of) abelian varieties with kernel G. When the varieties are elliptic curves with semi-stable reduction and the order of G is coprime to 6, it is known that the homomorphism ψ vanishes on torsion points. In this paper, using Weil restrictions of elliptic curves, we give the construction, for any prime number p > 2, of an abelian variety A of dimension p endowed with an isogeny (with kernel μ p ) whose coboundary map is surjective. In the case when A has rank zero and the p-part of the Picard group of the base is non-trivial, we obtain examples where ψ does not vanish on torsion points.

This is a preview of subscription content, log in via an institution to check access.

Access this article

Log in via an institution

Price excludes VAT (USA)
Tax calculation will be finalised during checkout.

Instant access to the full article PDF.

Institutional subscriptions

References

  1. Agboola A. (1994). A geometric description of the class invariant homomorphism. J. Théor. Nombres Bordeaux 6: 273–280

    MATH  MathSciNet  Google Scholar 

  2. Agboola A. (1996). Torsion points on elliptic curves and Galois module structure. Invent. Math. 123: 105–122

    Article  MATH  MathSciNet  Google Scholar 

  3. Agboola A. and Pappas G. (2000). Lines bundles, rational points and ideal classes. Math. Res. Lett. 7: 1–9

    MathSciNet  Google Scholar 

  4. Anantharaman S. (1973). Schémas en groupes, espaces homogènes et espaces algébriques sur une base de dimension 1. Bull. Soc. Math. France Suppl. Mém. 33: 5–79

    MATH  Google Scholar 

  5. Berthelot, P., Breen, L., Messing, W.: Théorie de Dieudonné cristalline II. Lect. Notes Math. 930. Springer, Heidelberg (1982)

  6. Bley W. and Klebel M. (1998). An infinite family of elliptic curves and Galois module structure. Pacific J. Math. 185: 221–235

    Article  MATH  MathSciNet  Google Scholar 

  7. Bosch, S., Lütkebohmert, W., Raynaud, M.  : Néron Models. Ergeb. Math. Grenzgeb. (3), vol. 21. Springer, Heidelberg (1990)

  8. Cassou-Noguès Ph. and Jehanne A. (2001). Espaces homogènes principaux et points de 2-division de courbes elliptiques. J. London Math. Soc. 63(2): 257–287

    Article  MathSciNet  Google Scholar 

  9. Cremona J. (1992). Algorithms for Modular Elliptic Curves. Cambridge University Press, Cambridge

    MATH  Google Scholar 

  10. Edixhoven B. (1992). Néron models and tame ramification. Compost. Math. 81(3): 91–306

    MathSciNet  Google Scholar 

  11. Fontaine J.-M. (1985). Il n’y a pas de variété abélienne sur Z. Invent. Math. 81(3): 515–538

    Article  MATH  MathSciNet  Google Scholar 

  12. Gillibert J. (2005). Invariants de classes: le cas semi-stable. Compost. Math. 141: 887–901

    Article  MATH  MathSciNet  Google Scholar 

  13. Gillibert J. (2006). Variétés abéliennes et invariants arithmétiques. Ann. Inst. Fourier 56(fasc. 2): 277–297

    MATH  MathSciNet  Google Scholar 

  14. Gillibert, J.  : Invariants de classes : propriétés fonctorielles et applications à l’étude du noyau. Preprint, http ://arxiv.org/abs/math. NT/0512365

  15. Grothendieck, A., Dieudonné, J. : Éléments de géométrie algébrique, chapitre II : Étude globale élémentaire de quelques classes de morphismes. Publ. Math. Inst. Hautes Études Sci., vol. 8 (1961)

  16. Grothendieck, A., Dieudonné, J.  : Éléments de géométrie algébrique, chapitre III : Étude cohomologique des faisceaux cohérents, Première partie. Publ. Math. Inst. Hautes Études Sci., vol. 11 (1961)

  17. Grothendieck, A. : Groupes de monodromie en géométrie algébrique. Lect. Notes Math., vol. 288. Springer, Heidelberg (1972)

  18. Kamienny S. (1990). Torsion points on elliptic curves. Bull. Am. Math. Soc. 23(2): 371–373

    Article  MATH  MathSciNet  Google Scholar 

  19. Pappas G. (1998). On torsion line bundles and torsion points on abelian varieties. Duke Math. J. 91: 215–224

    Article  MATH  MathSciNet  Google Scholar 

  20. Pappas G. (1998). Galois modules and the theorem of the cube. Invent. Math. 133: 193–225

    Article  MATH  MathSciNet  Google Scholar 

  21. Pappas, G.: Galois modules, ideal class groups and cubic structures. Preprint (2003)

  22. Srivastav A. and Taylor M.J. (1990). Elliptic curves with complex multiplication and Galois module structure. Invent. Math. 99: 165–184

    Article  MATH  MathSciNet  Google Scholar 

  23. Taylor M.J. (1988). Mordell-Weil groups and the Galois module structure of rings of integers. Illinois J. Math. 32: 428–452

    MATH  MathSciNet  Google Scholar 

  24. Waterhouse W.C. (1971). Principal homogeneous spaces and group scheme extensions. Trans. Am. Math. Soc. 153: 181–189

    Article  MATH  MathSciNet  Google Scholar 

Download references

Author information

Authors and Affiliations

  1. School of Mathematics, The University of Manchester, Sackville Street, Manchester, M60 1QD, UK

    Jean Gillibert

Authors
  1. Jean Gillibert
    View author publications

    You can also search for this author in PubMed Google Scholar

Corresponding author

Correspondence to Jean Gillibert.

Rights and permissions

Reprints and permissions

About this article

Cite this article

Gillibert, J. Invariants de classes : exemples de non-annulation en dimension supérieure. Math. Ann. 338, 475–495 (2007). https://doi.org/10.1007/s00208-007-0084-4

Download citation

  • Received:

  • Revised:

  • Published:

  • Issue Date:

  • DOI: https://doi.org/10.1007/s00208-007-0084-4

Mathematics Subject Classification (2000)

Search

Navigation