Doubles mélanges des polylogarithmes multiples aux racines de l’unité

Résumé

Résumé. – Les valeurs des fonctions zêta multiples aux entiers strictement positifs fournissent une solution au système d’équations des associateurs de Drinfel’d, aux nombreuses applications en algèbre quantique. Vues comme intégrales itérées, ce sont les périodes du groupoïde fondamental motivique de P ¹∖{0,1,∞}, d’où un système fondamental de relations algébriques, qui implique celui des associateurs mais n’est pas explicite.¶On étudie ici la combinatoire d’un autre système de relations, les doubles mélanges, qui provient de manipulations élémentaires de séries et d’intégrales. On montre qu’il partage une propriété importante avec les associateurs et les relations « motiviques », est conséquence de ces dernières et définit une algèbre de polynômes sur Q (théorème d’Écalle). On obtient ces résultats pour les nombres plus généraux que sont les polylogarithmes multiples aux racines de l’unité de Goncharov.

Abstract

Abstract. – The values at positive integers of the polyzeta functions are solutions of the polynomial equations arising from Drinfeld’s associators, which have numerous applications in quantum algebra. As iterated integrals they are periods of the motivic fundamental groupoid of P ¹∖{0,1,∞}. From this arises a fundamental, yet no more explicit, system of algebraic relations; it implies the system of associators.¶We focus here on the combinatorial properties of another system of relations, the “double shuffles”, which expresses some elementary series and integrals manipulations. We show that it shares an important property with associators and “motivic” relations, is implied by the latter and defines a polynomial algebra over Q (Écalle’s theorem). We obtain these results for more general numbers: values of Goncharov’s multiple polylogarithms at roots of unity.