Generalizations of Eulerian partially ordered sets, flag numbers, and the Möbius function

Abstract

A partially ordered set is r-thick if every nonempty open interval contains at least r elements. This paper studies the flag vectors of graded, r-thick posets and shows the smallest convex cone containing them is isomorphic to the cone of flag vectors of all graded posets. It also defines a k-analogue of the Möbius function and k-Eulerian posets, which are 2k-thick. Several characterizations of k-Eulerian posets are given. The generalized Dehn–Sommerville equations are proved for flag vectors of k-Eulerian posets. A new inequality is proved to be valid and sharp for rank 8 Eulerian posets.

Resume

Un ensemble partiellement ordonné est r-épais si chacun de ses intervalles ouverts non-vides contient au moins r éléments. Dans cet article nous étudions les vecteurs drapeaux des ensembles partiellement ordonnés gradués r-épais. Nous démontrons que le cône le plus petit contenant ces vecteurs est isomorphe au cône des vecteurs drapeaux des ensembles partiellement ordonnés gradués quelconques. Nous définissons aussi un k-analogue de la fonction de Möbius et des ensembles partiellement ordonnés k-eulériens qui sont 2k-épais. Nous caractérisons les ensembles partiellement ordonnés k-eulériens de plusieurs manières, et généralisons les équations de Dehn–Sommerville pour le vecteur drapeaux d'un ensemble partiellement ordonné k-eulérien. Nous démontrons une nouvelle inégalité optimale pour les ensembles partiellement ordonnés eulériens de rang 8.