The Hard Lefschetz Theorem and the topology of semismall maps

Dedicato a Meeyoung
https://doi.org/10.1016/S0012-9593(02)01108-4Get rights and content

Abstract

A line bundle on a complex projective manifold is said to be lef if one of its powers is globally generated and defines a semismall map in the sense of Goresky–MacPherson. As in the case of ample bundles the first Chern class of lef line bundles satisfies the Hard Lefschetz Theorem and the Hodge–Riemann Bilinear Relations. As a consequence, we prove a generalization of the Grauert contractibility criterion: the Hodge Index Theorem for semismall maps, Theorem 2.4.1. For these maps the Decomposition Theorem of Beilinson, Bernstein and Deligne is equivalent to the non-degeneracy of certain intersection forms associated with a stratification. This observation, joint with the Hodge Index Theorem for semismall maps gives a new proof of the Decomposition Theorem for the direct image of the constant sheaf. A new feature uncovered by our proof is that the intersection forms involved are definite.

Résumé

On dit qu'un fibré en droites sur une variété projective est lef si l'une de ses puissances tensorielles est engendrée par ses sections globales et définit un morphisme “semismall” dans le sens de Goreski–MacPherson. On prouve que, comme dans le cas des fibrés amples, la première classe de Chern des fibrés lef satisfait le théorème de Lefschetz difficile et les relations bilinéaires de Hodge–Riemann. Comme conséquence, on démontre une généralisation du critère de contractibilité de Grauert, le théorème de l'indice de Hodge pour les morphismes “semismall” (Theorem 2.4.1). Pour ces morphismes, le théorème de décomposition de Beilinson, Bernstein et Deligne équivaut à la non dégénérescence de certaines formes d'intersection associées à une stratification ; en combinant cette observation avec le théorème de l'indice pour les morphismes “semismall”, on en déduit une nouvelle preuve du théorème de décomposition pour l'image directe du faisceau constant, avec l'information supplémentaire que les formes d'intersection en question sont définies.

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