In the past few years, nonlinear parabolic PDEs have been introduced in image analysis. A complete classification of these equations is now established with the geometrical invariance properties that may be required. An important result is that there exists a unique second order parabolic equation which is invariant with respect to contrast changes and affine distorsions. On the other hand, a classical result by Matheron yields a complete classification of morphological operators that is monotone, translation invariant and contrast invariant functions operators. In this paper, we prove that any adequately scaled and iterated affine invariant, morphological operator converges to the semi-group associated with the unique affine invariant PDE of the classification. In a second part, by using again Matheron's characterization, we give a new proof of the convergence of other morphological operators, the weighted median filters, towards the Mean Curvature Motion.
Résumé
Les EDP non linéaires ont été introduites récemment dans l'analyse des images. Une classification de ces équations fondée sur leur invariance géométrique existe maintenant. Un résultat important est qu'il existe une seule équation parabolique du second ordre invariante par changement de contraste et par des transformations affines. Un résultat de Matheron clarifie tous les opérateurs morphologiques, c'est-à-dire les opérateurs monotones invariants par translation et invariants par changement de contraste. Dans cet article on montre que sous un changement d'échelle convenable tout opérateur morphologique invariant par affinité converge vers le semi-groupe associé à l'unique PDE de la classification invariante par transformations affines. Dans la seconde partie, utilisant la caractérisation de Matheron, nous donnons une nouvelle preuve de la convergence d'autres opérateurs morphologiques, les filtres à médiane pondérée, vers le mouvement à courbure moyenne.