Ergodicity for the 3D stochastic Navier–Stokes equations

https://doi.org/10.1016/S0021-7824(03)00025-4Get rights and content
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Abstract

We consider the Kolmogorov equation associated with the stochastic Navier–Stokes equations in 3D, we prove existence of a solution in the strict or mild sense. The method consists in finding several estimates for the solutions um of the Galerkin approximations of u and their derivatives. These estimates are obtained with the help of an auxiliary Kolmogorov equation with a very irregular negative potential. Although uniqueness is not proved, we are able to construct a transition semigroup for the 3D Navier–Stokes equations. Furthermore, this transition semigroup has a unique invariant measure, which is ergodic and strongly mixing.

Résumé

On considère l'équation de Kolmogorov associée à l'équation de Navier–Stokes stochastique en dimension 3 ; on prouve l'existence d'une solution stricte ou mild. La méthode consiste à démontrer de nombreuses estimations a priori pour les solutions um des approximations de Galerkin de u et de ses derivées. Ces estimations sont obtenues à l'aide d'une équation de Kolmogorov auxiliaire avec un potentiel négatif très irrégulier. Bien que nous ne soyons pas en mesure de prouver l'unicité, nous avons pu construire un semigroupe de transition pour les équations de Navier–Stokes stochastiques en dimension 3. De plus, ce semigroupe de transition a une unique mesure invariante qui est aussi ergodique et fortement mélangeante.

MSC

35Q10
60H15
37L40

Keywords

Stochastic Navier–Stokes equations
Transition semigroup
Invariant measure
Ergodicity

Cited by (0)