The residual spectrum of the group of type G₂

Abstract

Let G be the split group of type G₂ defined over a number field k and G(A) its adele group. Let L_d² be the discrete part of the space of square-integrable complex valued functions on G(k)⧹G(A), i.e. the direct sum of irreducible G(A)-submodules. In this article we describe this space in terms of cuspidal representations of the standard Levi factors. We follow Langlands' method.

The most surprising result concerns the part of the discrete spectrum coming from a Borel subgroup; in addition to the trivial representation (the constants) and the representations attached to the grössencharacters of order 2 and 3. it contains a series of representations arising from the trivial character and whose cuspidal exponents are short roots. This series consists of irreducible quotients of an induced representation satisfying a strange condition on the cardinality of ramified components (|S| ≠ 1). A part of this result is proved by C. Mœglin and J.-L. Waldspurger.

Résumé

Soient G le groupe simple déployé de type G₂ défini sur un corps de nombres k et G(A) le groupe de ses points adéliques. Soit L_d² la partie discrète de l'espace des fonctions à valeurs complexes sur G(k)⧹G(A) de carré intégrables, i.e. la somme des sous-G(A)-modules irréductibles. Dans cet article nous décrivons cet espace en terme des représentations cuspidales de sous-groupes de Lévi standards. On suit la méthode de Langlands.

Le résultat le plus surprenant concerne le spectre discret provenant d'un sous-groupe de Borel; outre la représentation triviale (les constantes) et les représentations attachées aux caractères d'ordres 2 et 3, il contient une série de représentations construite à partir du caractère trivial dont les exposants cuspidaux sont des racines courtes. Cette série est formée des quotients irréductibles d'une représentation induite satisfaisant une condition étrange sur la cardinalité des composantes ramifiées (|S| ≠ 1). Une partie de ce résultat a été démontrée par C. Mœglin et J.-L. Waldspurger.