Free diffusions, free entropy and free Fisher information

https://doi.org/10.1016/S0246-0203(00)01074-8Get rights and content

Abstract

Motivated by the stochastic quantization approach to large N matrix models, we study solutions to free stochastic differential equations dXt=dSt12f(Xt)dt where St is a free brownian motion. We show existence, uniqueness and Markov property of solutions. We define a relative free entropy as well as a relative free Fisher information, and show that these quantities behave as in the classical case. Finally we show that, in contrast with classical diffusions, in general the asymptotic distribution of the free diffusion does not converge, as t→∞, towards the master field (i.e., the Gibbs state).

Résumé

Nous étudions des équations différentielles stochastiques du type dXt=dSt12f(Xt)dtSt est un mouvement brownien libre, suggérées par la quantification stochastique des modèles matriciels de grande taille. Nous établissons l'existence et l'unicité des solutions, ainsi que leur caractère Markovien. Nous définissons une entropie libre relative et une information de Fisher relative, adaptées à ces diffusions et montrons que ces quantités se comportent comme leurs analogues classiques. Enfin nous montrons qu'en général, contrairement à ce qui se passe dans le cas classique, la distribution de la diffusion ne converge pas vers l'état de Gibbs.

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