Poisson trees, succession lines and coalescing random walks

https://doi.org/10.1016/j.anihpb.2003.12.001Get rights and content

Abstract

We give a deterministic algorithm to construct a graph with no loops (a tree or a forest) whose vertices are the points of a d-dimensional stationary Poisson process S⊂Rd. The algorithm is independent of the origin of coordinates. We show that (1) the graph has one topological end – that is, from any point there is exactly one infinite self-avoiding path; (2) the graph has a unique connected component if d=2 and d=3 (a tree) and it has infinitely many components if d⩾4 (a forest); (3) in d=2 and d=3 we construct a bijection between the points of the Poisson process and Z using the preorder-traversal algorithm. To construct the graph we interpret each point in S as a space-time point (x,r)∈Rd−1×R. Then a (d−1)-dimensional random walk in continuous time continuous space starts at site x at time r. The first jump of the walk is to point x′, at time r′>r, (x′,r′)∈S, where r′ is the minimal time after r such that |xx′|<1. All the walks jumping to x′ at time r′ coalesce with the one starting at (x′,r′). Calling (x′,r′)=α(x,r), the graph has vertex set S and edges {(s,α(s)),sS}. This enables us to shift the origin of S=S∪{0} (the Palm version of S) to another point in such a way that the distribution of S does not change (to any point if d=2 and d=3; point-stationarity).

Résumé

Nous présentons un algorithme déterministe pour construire un graphe sans boucles (un arbre ou une forêt) dont les sommets sont les points d'un processus de Poisson stationnaire S⊂Rd. L'algorithme est indépendant de l'origine des coordonnées. Nous démontrons que (1) le graphe a une fin topologique – c'est à dire, que de n'importe quel point il existe exactement un seul chemin sans intersections ; (2) le graphe a une seule composante connexe pour d=2 et d=3 (un arbre) et il a un nombre infini de composantes pour d⩾4 (une forêt) ; (3) pour d=2 et d=3, nous construisons une bijection entre les points du processus de Poisson et Z en utilisant l'algorithme “preorder-traversal”.

Pour construire le graphe, nous interprétons chaque point de S comme un point spatio-temporel (x,r)∈Rd−1×R. Une marche aléatoire (d−1)-dimensionelle en temps continu commence du site x à l'instant r. Le premier saut de la marche est vers le point x′ à l'instant r′>r, (x′,r′)∈Sr′ est le premier instant après r tel que |xx′|<1. Toutes les marches qui sautent vers x′ à l'instant r′ s'unissent à la marche débutant en (x′,r′) pour devenir une seule marche aléatoire. Si (x′,r′)=α(x,r), l'ensemble S représente les sommets du graphe et l'ensemble {(s,α(s)),sS} les arêtes. Ceci nous permet de translater l'origine de S=S∪{0} (la version de Palm de S) vers un autre point de manière a ce que la distribution de S reste inchangée.

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