Existence and uniqueness of entropy solutions for nonlinear elliptic equations with measure data

Abstract

We consider the differential problem

where $\Omega$ is a bounded, open subset of ${\mathbf{R}}^N$, $N\ge 2$, $A$ is a monotone operator acting on $W_0^{1,p}\left(\mathrm{\Omega }\right)$, $p>1$, and $\mu$ is a Radon measure on $\Omega$ that does not charge the sets of zero $p$-capacity. We prove a decomposition theorem for these measures (more precisely, as the sum of a function in $L^1(\Omega )$ and of a measure in $W^{-1,p^{\prime }}(\Omega )$), and an existence and uniqueness result for the so-called entropy solutions of ($\ast$).

Résumé

On considère le problème différentiel

où $\Omega$ est un ouvert borné de ${\mathbf{R}}^N$, $N\ge 2$, $A$ est un opérateur monotone défini sur $W_0^{1,p}\left(\mathrm{\Omega }\right)$, $p>1$, et $\mu$ est une mesure de Radon sur $\Omega$ qui ne charge pas les ensembles de $p$-capacité nulle. On démontre un théorème de décomposition pour ces mesures (plus précisément, comme une fonction de $L^1(\Omega )$ et une mesure dans $W^{-1,p^{\prime }}(\Omega )$), et on prouve l’existence et l’unicité d’une solution entropique pour ($\ast$).