Small solutions to nonlinear Schrödinger equations

Abstract

It is shown that the initial value problem for the nonlinear Schrödinger equations

where $P(.)$ is a polynomial having no constant or linear terms, is locally well posed for a class of “small” data $u_0$.

The main ingredients in the proof are new estimates describing the smoothing effect of Kato type for the group ${\left\{e^{it\mathrm{\Delta }}\right\}}_{-\infty }^{\infty }$. This method extends to systems and other dispersive models.

Résumé

On montre que le problème de Cauchy pour l’équation de Schrödinger non linéaire

où $P(.)$ est un polynôme sans termes constants ou linéaires, est bien posé pour une classe de « petites » données $u_0$.

Les ingrédients principaux de la démonstration sont des nouvelles estimations qui décrivent l’effet régularisant de type de Kato pour le groupe $\left\{e^{it\mathrm{\Delta }}\right\}$. La méthode admet des extensions aux systèmes et aux autres modèles dispersifs.