Free subgroups of the homeomorphism group of the circle

https://doi.org/10.1016/S0764-4442(00)01694-3Get rights and content
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Abstract

Tits alternative says that a finitely generated linear group either contains a non-commutative free subgroup or is virtually solvable. It is known (see [2]) that an analogue of Tits alternative is not true for subgroups of the group Homeo(S1) of all homeomorphisms of the circle S1 and even for subgroups of the group of C-diffeomorphisms of S1. The main purpose of this Note is to prove a conjecture of É. Ghys which can be viewed as a replacement of Tits alternative for Homeo(S1) and which says that if G is a subgroup of Homeo(S1) containing no free non-commutative subgroup then there is a G-invariant probability measure on S1.

Résumé

L'alternative de Tits affirme qu'un sous-groupe de type fini du groupe linéaire contient un sous-groupe libre non abélien ou bien est virtuellement résoluble. Il est connu (voir [2]) que l'alternative de Tits n'est pas satisfaite pour les sous-groupes du groupe Homeo(S1) des homéomorphismes du cercle ni même pour les sous-groupes du groupe des difféomorphismes du cercle de classe C. Le but principal de cette Note est de démontrer un conjecture de É. Ghys remplaçant l'alternative de Tits pour Homeo(S1) qui affirme que si G est un sous-groupe de Homeo(S1), alors qui ne contient aucun sous-groupe libre non abélien alors il existe une mesure de probabilité sur le cercle qui est G-invariante.

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