Nonuniformizable skew cylinders. A counterexample to the simultaneous uniformization problem

https://doi.org/10.1016/S0764-4442(00)01843-7Get rights and content

Abstract

We disprove (Theorem 2) Ilyashenko's simultaneous uniformization conjecture (dated late 1960s): we construct a two-dimensional Stein manifold that admits a topologically trivial holomorphic fibration over the unit disc D by simply connected holomorphic curves, that has a holomorphic section and is not biholomorphically fiberwise equivalent to a subdomain of C×D. This together with a previous result of Ilyashenko (Lemma 1) implies that Bers' simultaneous uniformization theorem [3] for topologically trivial holomorphic fibrations by compact Riemann surfaces does not extend to general holomorphic fibrations by compact Riemann surfaces with singularities (Theorem 1).

Résumé

On apporte une réponse négative à la conjecture d'uniformisation simultanée émise par Yu.S.Ilyachenko à la fin des années 1960 (théorème 2): on construit une variété de Stein de dimension deux qui admet une fibration holomorphe topologiquement triviale au-dessus du disque unité D par des courbes holomorphes simplement connexes, qui a une section holomorphe, mais qui n'est pas biholomorphiquement équivalente (comme fibration au-dessus de D) à un domaine de C×D. Cela implique, par un résultat précédent d'Ilyachenko (lemme 1), que le théorème de Bers d'uniformisation simultanée [3] des fibrations holomorphes topologiquement triviales par surfaces de Riemann compactes ne s'étend pas à des fibrations holomorphes générales par surfaces de Riemann compactes singulières (théorème 1).

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