Convexes divisibles III

Résumé

Soient ${\mathrm{\Delta }}_0$ un groupe de type fini et ${\mathcal{F}}_{{\mathrm{\Delta }}_0}$ la partie de $\mathrm{Hom}({\mathrm{\Delta }}_0,\mathrm{PGL}({\mathbb{R}}^m))$ formée des représentations fidèles pour lesquelles il existe un ouvert proprement convexe et ${\mathrm{\Delta }}_0$-invariant Ω de $\mathbb{P}({\mathbb{R}}^m)$ tel que le quotient ${\mathrm{\Delta }}_0\backslash \mathrm{\Omega }$ est compact. Koszul a montré dans [J.L. Koszul, Déformation des connexions localement plates, Ann. Inst. Fourier 18 (1968) 103–114] que cette partie ${\mathcal{F}}_{{\mathrm{\Delta }}_0}$ est ouverte. Nous décrivons l'adhérence de ${\mathcal{F}}_{{\mathrm{\Delta }}_0}$. En particulier, nous montrons que cette partie ${\mathcal{F}}_{{\mathrm{\Delta }}_0}$ est fermée si et seulement si le centre virtuel de ${\mathrm{\Delta }}_0$ est trivial. Cette condition est satisfaite si et seulement si ${\mathcal{F}}_{{\mathrm{\Delta }}_0}$ contient une représentation fortement irréductible.

Abstract

Let ${\mathrm{\Delta }}_0$ be a group of finite type and ${\mathcal{F}}_{{\mathrm{\Delta }}_0}\subset \mathrm{Hom}({\mathrm{\Delta }}_0,\mathrm{PGL}({\mathbb{R}}^m))$ be the subset of faithful representations for which there exists a properly convex ${\mathrm{\Delta }}_0$-invariant open subset Ω in $\mathbb{P}({\mathbb{R}}^m)$ such that the quotient ${\mathrm{\Delta }}_0\backslash \mathrm{\Omega }$ is compact. Koszul has proved in [J.L. Koszul, Déformation des connexions localement plates, Ann. Inst. Fourier 18 (1968) 103–114] that this subset ${\mathcal{F}}_{{\mathrm{\Delta }}_0}$ is open. We describe the closure of ${\mathcal{F}}_{{\mathrm{\Delta }}_0}$. As a consequence, we show that this subset ${\mathcal{F}}_{{\mathrm{\Delta }}_0}$ is closed if and only if the virtual center of ${\mathrm{\Delta }}_0$ is trivial. This condition is satisfied if and only if ${\mathcal{F}}_{{\mathrm{\Delta }}_0}$ contains a strongly¹ irreducible representation.