Abhyankar places admit local uniformization in any characteristic

Abstract

We prove that every place P of an algebraic function field $F|K$ of arbitrary characteristic admits local uniformization, provided that the sum of the rational rank of its value group and the transcendence degree of its residue field FP over K is equal to the transcendence degree of $F|K$, and the extension $FP|K$ is separable. We generalize this result to the case where P dominates a regular local Nagata ring $R\subseteq K$ of Krull dimension $\dim R⩽2$, assuming that the valued field $(K,v_P)$ is defectless, the factor group $v_{P}F/v_{P}K$ is torsion-free and the extension of residue fields $FP|KP$ is separable. The results also include a form of monomialization.

Résumé

Nous montrons que toute place P d'un corps de fonctions algébrique $F|K$ en caractéristique quelconque admet une uniformisation locale, pourvu que la somme du rang rationnel de son groupe de valeurs et du degré de transcendance de son corps résiduel FP sur K soit égal au degré de transcendance de $F|K$, et que l'extension $FP|K$ soit séparable. Nous généralisons ce résultat au cas où P domine un anneau de Nagata local régulier $R\subset K$ de dimension de Krull au plus 2, en supposant que le corps valué $(K,v_P)$ soit sans défaut, que le groupe quotient $v_{P}F/v_{P}K$ soit sans torsion, et que l'extension des corps résiduels $FP|KP$ soit séparable. Les résultats contiennent aussi une forme de monomialisation.