[Une version bilipschitzienne du théorème de Hardt]
Dans cette note on donne les grandes lignes de la preuve d'un théorème qui constitue une version bilipschitzienne du théorème de Hardt. Étant donnée famille d'ensembles définissables dans une structure o-minimale le théorème de Hardt établit l'existence d'une trivialisation topologique (pour des paramètres génériques) définissable dans la structure. On démontre que l'isotopie peut être choisie bilipschitzienne pour les structures o-minimales polynomialement bornées. La preuve consiste à démontrer l'existence de « triangulations lipschitz » simultanées (cf. Bochnak et al. [Géométrie Algébrique Réelle, Springer-Verlag, 1987]). On en donne ici l'idée et la définition ; la preuve détaillée de l'existence sera publié plus tard.
In this Note we give a sketch of the proof of a theorem which is a bilipschitz version of Hardt's theorem. Given a family definable in an o-minimal structure Hardt's theorem states the existence (for generic parameters) of a trivialization which is definable in the o-minimal structure. We show that, for a polynomially bounded o-minimal structure, there exists such an isotopy which is bilipschitz. The proof is inspired by Bochnak et al. [Géométrie Algébrique Réelle, Springer-Verlag, 1987]. and involves the construction of ‘Lipschitz triangulations’ which are defined in this Note. The complete proof of existence will appear later.
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Guillaume Valette. A bilipschitz version of Hardt's theorem. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 340 (2005) no. 12, pp. 895-900. doi : 10.1016/j.crma.2005.05.004. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2005.05.004/
[1] Local bi-Lipschitz classification of two-dimensional semialgebraic sets, Rev. Semin. Iberoam. Mat. Singul. Tordesillas, Volume 2 (1998) no. 1, pp. 29-34 (in Portuguese)
[2] Géométrie Algébrique Réelle, Ergeb. Math., vol. 12, Springer-Verlag, 1987
[3] M. Coste, An introduction to O-minimal geometry. Dip. Mat. Univ. Pisa, Dottorato di Ricerca in Matematica, Istituti Editoriali e Poligrafici Internazionali, Pisa, 2000
[4] Trivialités en famille, Real Algebraic Geometry, Lecture Notes in Math., vol. 1524, Springer, 1992, pp. 193-204
[5] Semi-algebraic local-triviality in semi-algebraic mappings, Amer. J. Math., Volume 102 (1980) no. 2, pp. 291-302
[6] On a subanalytic stratification satisfying a Whitney property with exponent 1, Real Algebraic Geometry (Rennes, 1991), Lecture Notes in Math., vol. 1524, Springer, Berlin, 1992, pp. 316-322
[7] Théorème de préparation pour les fonctions logarithmico-exponentielles, Ann. Inst. Fourier (Grenoble), Volume 47 (1997) no. 3, pp. 859-884
[8] Lipschitz equisingularity, Dissertationes Math. (Rozprawy Mat.), Volume 243 (1985), p. 46
[9] Lipschitz stratification of subanalytic sets, Ann. Sci. École Norm. Sup. (4), Volume 27 (1994) no. 6, pp. 661-696
[10] On the preparation theorem for subanalytic functions, New Developments in Singularity Theory (Cambridge, 2000), NATO Sci. Ser. II Math. Phys. Chem., vol. 21, Kluwer Academic, Dordrecht, 2001, pp. 193-215
[11] Regular projections for sub-analytic sets, C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math., Volume 307 (1988) no. 7, pp. 343-347
[12] G. Valette. Lipschitz triangulations, preprint
[13] L. van den Dries, P. Speissegger, O-minimal preparation theorems, in press
Cité par Sources :
Commentaires - Politique
Modèle complétude des structures o-minimales polynomialement bornées
Olivier Le Gal
C. R. Math (2008)
Ensembles définissables dans les corps ordonnés différentiellement clos
Françoise Point
C. R. Math (2011)
Sur la topologie des fibres d'une fonction définissable dans une structure o-minimale
Didier D'Acunto
C. R. Math (2003)