Comptes Rendus
no. 10
Numerical Analysis
Relationship between multiscale enrichment and stabilized finite element methods for the generalized Stokes problem
[Relation entre l'enrichisement multi-échelles et les méthodes d'éléments finis stabilisées pour le problème de Stokes généralisé]

Présenté par : Olivier Pironneau

Gabriel R. Barrenechea1 ; Frédéric Valentin2
1 Departamento de Ingeniería Matemática, Universidad de Concepción, Casilla 160-C, Concepción, Chile
2 Departamento de Matemática Aplicada, Laboratório Nacional de Computação Científica (LNCC), Av. Getúlio Vargas, 333, 25651-070 Petrópolis – RJ, Brazil
Comptes Rendus. Mathématique, Volume 341 (2005) no. 10, pp. 635-640.

On propose une nouvelle méthode d'éléments finis stabilisée pour le problème de Stokes généralisé basée sur l'enrichissement de l'espace d'éléments finis continu P1/P1 par des fonctions multi-échelles. Le paramètre de stabilisation est donné par la moyenne de la fonction d'enrichissement sur l'élément, qui à son tour est calculée analytiquement par la résolution d'un problème aux limites dans chaque élément. Des estimations d'erreurs optimales sont obtenues et des tests numériques sont présentés.

We derive a new stabilized finite element method for the generalized Stokes problem starting from the non-stable continuous P1/P1 finite element space enriched with multiscale functions. The stabilization parameter is related with the enrichment functions which are analytically computed from a boundary value problem at the element level leading to a method which is free of constants. Optimal error estimates are obtained in natural norms and numerical tests validate the method.

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DOI : 10.1016/j.crma.2005.09.038
Gabriel R. Barrenechea 1 ; Frédéric Valentin 2

1 Departamento de Ingeniería Matemática, Universidad de Concepción, Casilla 160-C, Concepción, Chile
2 Departamento de Matemática Aplicada, Laboratório Nacional de Computação Científica (LNCC), Av. Getúlio Vargas, 333, 25651-070 Petrópolis – RJ, Brazil 
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Gabriel R. Barrenechea; Frédéric Valentin. Relationship between multiscale enrichment and stabilized finite element methods for the generalized Stokes problem. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 341 (2005) no. 10, pp. 635-640. doi : 10.1016/j.crma.2005.09.038. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2005.09.038/

[1] C. Baiocchi; F. Brezzi; L.P. Franca Virtual bubbles and Galerkin–Least-Squares type methods (Ga.L.S.), Comput. Methods Appl. Mech. Engrg., Volume 105 (1993), pp. 125-141

[2] G.R. Barrenechea; F. Valentin An unusual stabilized finite element method for a generalized Stokes problem, Numer. Math., Volume 92 (2002), pp. 653-677

[3] A. Ern; J.-L. Guermond Theory and Practice of Finite Elements, Springer-Verlag, 2004

[4] L.P. Franca; A. Madureira; F. Valentin Towards multiscale functions: Enriching finite element spaces with local but non bubble-like functions, Comput. Methods Appl. Mech. Engrg., Volume 194 (2005), pp. 3006-3021

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