Comptes Rendus
no. 4
Algebra
Universal deformation rings need not be complete intersections
[Les anneaux de déformation universelle ne sont pas nécessairement d'intersection complète]

Présenté par : Jean-Pierre Serre

Frauke M. Bleher1 ; Ted Chinburg2
1 Department of Mathematics, University of Iowa, Iowa City, IA 52242-1419, USA
2 Department of Mathematics, University of Pennsylvania, Philadelphia, PA 19104-6395, USA
Comptes Rendus. Mathématique, Volume 342 (2006) no. 4, pp. 229-232.

Nous répondons à une question de M. Flach en démontrant qu'il existe une représentation linéaire d'un groupe profini dont l'anneau de déformation universelle n'est pas un anneau d'intersection complète. Nous montrons que l'arithmétique fournit de tels exemples dans les situations suivantes. Il existe une infinité de corps quadratiques réels F tels qu'il existe une représentation du groupe de Galois de l'extension maximale non-ramifiée de F sur un corps de caractéristique 2 dont l'anneau de déformation universelle n'est pas un anneau d'intersection complète.

We answer a question of M. Flach by showing that there is a linear representation of a profinite group whose universal deformation ring is not a complete intersection. We show that such examples arise in arithmetic in the following way. There are infinitely many real quadratic fields F for which there is a mod 2 representation of the Galois group of the maximal unramified extension of F whose universal deformation ring is not a complete intersection.

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DOI : 10.1016/j.crma.2005.12.006
Frauke M. Bleher 1 ; Ted Chinburg 2

1 Department of Mathematics, University of Iowa, Iowa City, IA 52242-1419, USA
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[1] F.M. Bleher Universal deformation rings and Klein four defect groups, Trans. Amer. Math. Soc., Volume 354 (2002), pp. 3893-3906

[2] F.M. Bleher; T. Chinburg Applications of versal deformations to Galois theory, Comment. Math. Helv., Volume 78 (2003), pp. 45-64

[3] T. Chinburg, Can deformation rings of group representations not be local complete intersections?, in: Problems from the Workshop on Automorphisms of Curves in Leiden in August 2004, in press

[4] B. de Smit; H.W. Lenstra Explicit construction of universal deformation rings, Boston, MA, 1995, Springer-Verlag, Berlin (1997), pp. 313-326

[5] A. Grothendieck Éléments de géométrie algébrique, Chapitre IV, Quatrième Partie, Publ. Math. IHES, Volume 32 (1967), pp. 5-361

[6] B. Mazur Deforming Galois representations, Berkeley, CA, 1987, Springer-Verlag, Berlin (1989), pp. 385-437

[7] PARI2, PARI/GP, version 2.1.5, Bordeaux, 2004, http://pari.math.u-bordeaux.fr/

[8] J.-P. Serre Modular forms of weight one and Galois representations, Proc. Sympos., Univ. Durham, Durham, 1975, Academic Press, London (1977), pp. 193-268

[9] L.C. Washington Introduction to Cyclotomic Fields, Springer-Verlag, New York, 1982

Cité par Sources :

⁎ Supported (respectively) by NSF Grant DMS01-39737 and NSF Grant DMS00-70433.

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